Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Produktring/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R_{1}$ und ${}R_{2}$ endlich erzeugte ${}K$-Algebren mit dem Produktring ${}R=R_{1}\times R_{2}$.

Dann gibt es eine natürliche Homöomorphie

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\uplus K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{2}\right)}.$

Dabei werden die Einbettungen von rechts nach links durch die Projektionen ${}R\rightarrow R_{i}$, ${}i=1,2$, induziert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen