Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Paare/Äquivalenzrelation/Wohldefiniertheit/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System.

Dann ist die Überkreuzrelation auf der Produktmenge ${}R\times S$ eine Äquivalenzrelation. Für die Äquivalenzklassen  ${}{\frac {r}{s}}:=[(r,s)]$  ist durch

${}{\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}:={\frac {rs'+r's}{ss'}}\,$

eine wohldefinierte Addition und durch

${}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {r'}{s'}}:={\frac {rr'}{ss'}}\,$

eine wohldefinierte Multiplikation gegeben, derart, dass die Quotientenmenge ein kommutativer Ring wird.

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