Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$. Dann heißt ein Element ${}t\in R$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt (${}i=1,\ldots ,k$). Ein Element ${}g\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${}t$ dieses ${}g$ teilt.

Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn ${}1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

„Größer“ ist hier bezüglich der Teilbarkeitsrelation zu verstehen, wenn ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, so gilt es gemäß diesem Sprachgebrauch als größer. Dies rührt natürlich von der Situation in ${}\mathbb {N}$ her, wo Vielfache in der Tat größer im Sinne der natürlichen Ordnung als die Teiler sind.

Bemerkung  

Eine Einheit ist immer ein gemeinsamer Teiler für jede Auswahl von Elementen. Ein größter gemeinsamer Teiler muss im Allgemeinen nicht existieren. Ist ${}t$ ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ und ${}u$ eine Einheit, so ist auch ${}ut$ ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$. Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ sind teilerfremd genau dann, wenn jeder gemeinsame Teiler davon eine Einheit ist (es gibt noch andere Definitionen von teilerfremd, die nicht immer inhaltlich mit dieser übereinstimmen).

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

$a_{1},\ldots ,a_{n}\in R.$

Ein Element ${}b\in R$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn ${}b$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$ ist, also von jedem ${}a_{i}$ geteilt wird. ${}b$ heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von ${}b$ ist.