Kommutative endliche Gruppe/Körper mit Einheitswurzeln/Charaktergruppe/Isomorph/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt  (2) und Fakt kann man annehmen, dass eine endliche zyklische Gruppe ist, und dass eine -te primitive Einheitswurzel besitzt. Jeder Gruppenhomomorphismus

ist durch eindeutig festgelegt, und wegen

ist eine -te Einheitswurzel. Umgekehrt kann man zu jeder -ten Einheitswurzel durch die Zuordnung nach Fakt und Fakt einen Gruppenhomomorphismus von nach definieren. Die Menge der -ten Einheitswurzeln ist, da eine primitive Einheitswurzel vorhanden ist, eine zyklische Gruppe der Ordnung . Also gibt es solche Homomorphismen. Wenn eine primitive Einheitswurzel ist, dann besitzt der durch festgelegte Homomorphismus die Ordnung und ist damit ein Erzeuger der Charaktergruppe, also .

Zur bewiesenen Aussage