Kommutativer Ring/Einheitengruppe/Operation durch Multiplikation auf Polynomring/Invariantenring/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $G=(R^{\times },\cdot )$  die multiplikative Gruppe zu $R$.

a) Zeige, dass durch die Zuordnung

$G⟶{\mathrm{Hom}}_R^{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}}(R[X],R[X]),r⟼{\psi }_r,$

wobei ${\psi }_r$ den durch $X\mapsto rX$ gegebenen $R$-Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von $G$ auf dem Polynomring $R[X]$ definiert ist.

b) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation gleich $R$ ist.

c) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation nicht gleich $R$ ist.

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