Kommutativer Ring/Einheitengruppe/Operation durch Multiplikation auf Polynomring/Invariantenring/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}G=(R^{\times },\cdot )$ die multiplikative Gruppe zu ${}R$.

a) Zeige, dass durch die Zuordnung

$G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(R[X],R[X]\right)},\,r\longmapsto \psi _{r},$

wobei ${}\psi _{r}$ den durch ${}X\mapsto rX$ gegebenen ${}R$-Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von ${}G$ auf dem Polynomring ${}R[X]$ definiert ist.

b) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ${}R$ ist.

c) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation nicht gleich ${}R$ ist.

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