Multiplikative Gruppe/Hopf-Algebra/L-Punkte/Beispiel

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}H=K[X,X^{-1}]=K[X]_{X}$ sei mit der in Beispiel eingeführten (multiplikativen) ${}K$-Hopf-Algebrastruktur versehen. Zu einer kommutativen ${}K$-Algebra ${}L$ haben wir die natürliche Bijektion

$L^{\times }\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(H,L\right)},$

wobei eine Einheit ${}a\in L^{\times }$ auf den ${}K$-Algebrahomomorphismus abgebildet wird, der durch ${}X\mapsto a$ festgelegt ist. Da ${}a$ eine Einheit ist, ist dies auf genau eine Weise möglich. Unter dieser Bijektion wird die durch die Hopf-Struktur induzierte Verknüpfung zur Multiplikation auf ${}L^{\times }$, siehe Aufgabe. Daher nennt man ${}\operatorname {Spek} {\left(K[X,X^{-1}]\right)}$ auch die multiplikative Gruppe über ${}K$.