Kommutativer Ring/Elementeigenschaften/Teilbarkeit/Einführung/Textabschnitt

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In einem Körper folgt aus , dass ein Faktor sein muss. Diese Eigenschaft gilt nicht für beliebige Ringe. Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Nichtnullteiler, wenn aus stets folgt. Man nennt einen Ring nullteilerfrei, wenn der einzige Nullteiler ist.


Definition  

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Der Ring der ganzen Zahlen und die Polynomringe über einem Körper sind Integritätsbereiche. Das sind für uns die wichtigsten Beispiele.


Definition  

Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.

Ein kommutativer Ring ist ganau dann ein Körper, wenn in ihm jedes von verschiedene Element eine Einheit ist (der Nullring ist kein Körper, da in ihm sogar die eine Einheit ist).


Definition  

Sei ein kommutativer Ring, und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es ein derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .

Eine Einheit kann man als einen Teiler der auffassen. Idealtheoretisch kann man die Eigenschaft, dass das Element teilt, als Zugehörigkeit auffassen.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente teilerfremd sind, wenn jedes Element , das sowohl als auch teilt, eine Einheit ist.


Definition  

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Diese Begriffsbildung orientiert sich offenbar an den Primzahlen. Dagegen taucht das Wort „prim“ in der folgenden Definition auf.


Definition  

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt  mit , so teilt einen der Faktoren.

Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass keine Primzahl ist. Dabei ist die nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist. Für die ganzen Zahlen und für viele weitere Ringe fallen die beiden Begriffe prim und irreduzibel zusammen. Im Allgemeinen ist irreduzibel einfacher nachzuweisen, und prim ist der stärkere Begriff, jedenfalls für Integritätsbereiche.



Lemma  

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

Beweis  

Angenommen, wir haben eine Zerlegung . Wegen der Primeigenschaft teilt einen Faktor, sagen wir . Dann ist bzw. . Da kein Nullteiler ist, folgt , so dass also eine Einheit ist.