Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}R/{\mathfrak {a}}$ die Quotientenmenge zur durch ${}{\mathfrak {a}}$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}R$ mit der kanonischen Projektion

$q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}},\,g\longmapsto [g].$

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf ${}R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass ${}q$ ein Ringhomomorphismus ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen