Kommutativer Ring/Komplex/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein Kettenkomplex (oder einfach Komplex) ist eine Folge ${}M_{n}$, ${}n\in \mathbb {Z}$, von ${}R$-Moduln zusammen mit einer Folge von Modulhomomorphismenzusatz1

$d_{n}\colon M_{n+1}\longrightarrow M_{n}$

mit der Eigenschaft

${}d_{n-1}\circ d_{n}=0\,$

für alle ${}n\in \mathbb {Z}$.

Dies bedeutet, dass an jeder Stelle

${}\operatorname {bild} d_{n}\subseteq \operatorname {kern} d_{n-1}\,$

gilt.

Definition

Ein Kettenkomplex über einem kommutativen Ring heißt exakt an der Stelle ${}n$, wenn

${}\operatorname {kern} d_{n-1}=\operatorname {bild} d_{n}\,$

gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.

Dies bedeutet wiederum, dass an jeder Stelle

${}\operatorname {bild} d_{n}\supseteq \operatorname {kern} d_{n-1}\,$

gilt.