Kommutativer Ring/Maximales Ideal/Lokalisierung/Komplettierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Unter dem zusammengesetzten Ringhomomorphismus

wird auf abgebildet, wobei die letzte Gleichung auf Aufgabe beruht. Daher gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus

Die Restklassenabbildung

bildet nach Aufgabe jedes Element aus auf eine Einheit ab. Daher gibt es nach Fakt einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

Darunter wird auf abgebildet und so erhält man

Diese beiden Ringhomomorphismen sind invers zueinander und man hat kanonische Isomorphien

Da die Familie dieser Restklassenringe jeweils die Komplettierung festlegen, stimmen sie überein.