Kommutativer Ring/Maximales Ideal/Lokalisierung/Komplettierung/Fakt/Beweis

Beweis

Unter dem zusammengesetzten Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}R_{\mathfrak {m}}=R_{\mathfrak {m}}/{\left({\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\right)}^{n}$

wird ${}{\mathfrak {m}}^{n}$ auf ${}0$ abgebildet, wobei die letzte Gleichung auf Aufgabe beruht. Daher gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus

$R/{\mathfrak {m}}^{n}\longrightarrow R_{\mathfrak {m}}/{\left({\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\right)}^{n}.$

Die Restklassenabbildung

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{n}$

bildet nach Aufgabe jedes Element aus ${}R\setminus {\mathfrak {m}}$ auf eine Einheit ab. Daher gibt es nach Fakt einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{n}.$

Darunter wird ${}{\mathfrak {m}}^{n}R_{\mathfrak {m}}$ auf ${}0$ abgebildet und so erhält man

$R_{\mathfrak {m}}/{\left({\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\right)}^{n}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}^{n}.$

Diese beiden Ringhomomorphismen sind invers zueinander und man hat kanonische Isomorphien

${}R/{\mathfrak {m}}^{n}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\left({\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}\right)}^{n}\,.$

Da die Familie dieser Restklassenringe jeweils die Komplettierung festlegen, stimmen sie überein.

Zur bewiesenen Aussage