Kommutativer Ring/Modul/Einfach/Restklassenkörper/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Zwischen einem maximalen Ideal und dem Ring gibt es keine weiteren Ideale, somit gibt es in keine nichttrivialen Untermoduln und die Restekörper sind einfach. Wenn umgekehrt einfach ist, so muss der von einem Element erzeugte Untermodul schon der ganze Modul sein. Insbesondere gibt es einen surjektiven Modulhomomorphismus

Somit haben wir eine Isomorphie mit einem Ideal . Dabei muss maximal sein, da es andernfalls ein Zwischenideal geben würde, das einem nichttrivialen Untermodul

entsprechen würde, was es im einfachen Fall nicht geben darf.