Kommutativer Ring/Modul/Einfach/Restklassenkörper/Fakt/Beweis

Beweis

Zwischen einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subset R$ und dem Ring gibt es keine weiteren Ideale, somit gibt es in ${}R/{\mathfrak {m}}$ keine nichttrivialen Untermoduln und die Restekörper sind einfach. Wenn umgekehrt ${}M\neq 0$ einfach ist, so muss der von einem Element ${}0\neq v\in M$ erzeugte Untermodul ${}Rv$ schon der ganze Modul sein. Insbesondere gibt es einen surjektiven Modulhomomorphismus

$R\longrightarrow M,\,1\longmapsto v.$

Somit haben wir eine Isomorphie ${}M\cong R/{\mathfrak {a}}$ mit einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subset R$. Dabei muss ${}{\mathfrak {a}}$ maximal sein, da es andernfalls ein Zwischenideal ${}{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}\subset R$ geben würde, das einem nichttrivialen Untermodul

${}0\subset {\mathfrak {b}}/{\mathfrak {a}}\subset R/{\mathfrak {a}}=M\,$

entsprechen würde, was es im einfachen Fall nicht geben darf.

Zur bewiesenen Aussage