Kommutativer Ring/Modul/Einfach/Restklassenkörper/Fakt/Beweis

Beweis

Zwischen einem maximalen Ideal  ${}{\mathfrak {m}}\subset R$  und dem Ring gibt es keine weiteren Ideale, somit gibt es in ${}R/{\mathfrak {m}}$ keine nichttrivialen Untermoduln und die Restekörper sind einfach. Wenn umgekehrt  ${}M\neq 0$  einfach ist, so muss der von einem Element  ${}0\neq v\in M$  erzeugte Untermodul ${}Rv$ schon der ganze Modul sein. Insbesondere gibt es einen surjektiven Modulhomomorphismus

$R\longrightarrow M,\,1\longmapsto v.$

Somit haben wir eine Isomorphie  ${}M\cong R/{\mathfrak {a}}$  mit einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subset R$.  Dabei muss ${}{\mathfrak {a}}$ maximal sein, da es andernfalls ein Zwischenideal  ${}{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}\subset R$  geben würde, das einem nichttrivialen Untermodul

${}0\subset {\mathfrak {b}}/{\mathfrak {a}}\subset R/{\mathfrak {a}}=M\,$

entsprechen würde, was es im einfachen Fall nicht geben darf.

Zur bewiesenen Aussage