Kommutativer Ring/Modul/Länge/Kurze exakte Sequenz/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei

$0\longrightarrow L\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln.

Dann besitzt ${}M$ genau dann endliche Länge, wenn dies für ${}L$ und ${}N$ gilt. In diesem Fall gilt die Additionsformel

${}\ell {\left(M\right)}=\ell {\left(L\right)}+\ell {\left(N\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen