Es sei zunächst
projektiv. Da
ein
Erzeugendensystem
,
,
besitzt, gibt es auch einen surjekiven
-Modulhomomorphismus
-
Die projektive Eigenschaft, angewendet auf die Identität
-
zeigt, dass es einen Modulhomomorphismus
-
mit
-
![{\displaystyle {}\theta \circ \psi =\operatorname {Id} _{M}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d4288d2b1a78c49156e9d8b4b8a8d0279daeb9)
gibt. Dies bedeutet
-
![{\displaystyle {}R^{(I)}=M\oplus \operatorname {kern} \theta \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630d092be2681ae13e6a98eedee1b82584078ce9)
Wenn umgekehrt
-
![{\displaystyle {}M\oplus N=F\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228986b8245ba381f63729d7426fc3c95bc2d862)
frei ist, ein
surjektiver
-Modulhomomorphismus
-
und ein Modulhomomorphismus
-
gegeben ist, so gibt es
nach Fakt,
angewendet auf
-
einen Homomorphismus
-
mit
-
![{\displaystyle {}\varphi \circ p_{M}=\theta \circ \rho \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2be971ff1c30af735d575b0567f0887c280042b)
Die Einschränkung von
auf
hat wegen
-
![{\displaystyle {}\theta \circ (\rho \circ i_{M})=(\theta \circ \rho )\circ i_{M}=(\varphi \circ p_{M})\circ i_{M}=\varphi \circ (p_{M}\circ i_{M})=\varphi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a5de000582dfc25f553708c5157d2b33c5f411)
die gewünschten Eigenschaften.