Kommutativer Ring/Teilbarkeitstheorie/Fokus auf Z und KX/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und ${}a,b$ Elemente in ${}R$ . Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$ .

Beispielsweise ist ${}2$ ein Teiler von ${}6$ in ${}\mathbb {Z}$ , aber kein Teiler von ${}5$ . In ${}{\mathbb {C} }[X]$ ist ${}X-{\mathrm {i} }$ ein Teiler von ${}X^{2}+1$ , aber nicht von ${}X+2$ .

Lemma

In einem kommutativen Ring ${}R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

Für jedes Element ${}a$ gilt ${}1\,{|}\,a$ und ${}a\,{|}\,a$ .
Für jedes Element ${}a$ gilt ${}a\,{|}\,0$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}b\,{|}\,c$ , so gilt auch ${}a\,{|}\,c$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}c\,{|}\,d$ , so gilt auch ${}ac\,{|}\,bd$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ , so gilt auch ${}ac\,{|}\,bc$ für jedes ${}c\in R$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}a\,{|}\,c$ , so gilt auch ${}a\,{|}\,rb+sc$ für beliebige Elemente ${}r,s\in R$ .

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Definition

Zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit ${}u\in R$ derart gibt, dass ${}a=ub$ ist.

Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation, siehe Aufgabe.

In ${}R=\mathbb {Z}$ sind zwei Zahlen genau dann zueinander assoziiert, wenn ihr Betrag übereinstimmt, wenn sie also gleich oder negativ zueinander sind. Bei ${}R=K[X]$ sind zwei Polynome genau dann zueinander assoziiert, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ${}\lambda \in K$ , ${}\lambda \neq 0$ , ineinander übergehen. Durch diese Operation kann man erreichen, dass der Leitkoeffizient eins wird. Jedes Polynom ist also assoziiert zu einen normierten Polynom.