Kommutativer Ring/Z mod k-graduiert/Twists mit verträglicher Gruppenoperation/Beispiel

Es sei ${}S$ ein ${}\mathbb {Z} /(k)$-graduierter Ring mit der zugehörigen Gruppenoperation von ${}\mu _{k}$. Der getwiste ${}S$-Modul ${}S(-\ell )$ ist ${}S$ versehen mit der Graduierung, bei der die ${}i$-te Stufe durch

${}(S(-\ell ))_{i}=S_{-\ell +i}\,$

gegeben ist. Es ist ${}S(-\ell )$ mit der zur Graduierung zugehörigen Gruppenoperation von ${}\mu _{k}$ ein mit der Operation auf ${}S$ verträglicher Modul. Für ${}s\in S_{j}$ und ${}v\in {\left(S(-\ell )\right)}_{i}$ ist das Produkt gleich ${}sv\in {\left(S(-\ell )\right)}_{i+j}={\left(S\right)}_{i+j-\ell }$. Unter einer primitiven ${}k$-ten Einheitswurzel ${}\xi$ werden die beteiligten Element ${}s\mapsto \xi ^{j}s$, ${}v\mapsto \xi ^{i-\ell }v$ und ${}sv$ auf ${}\xi ^{i+j-\ell }sv$ abgebildet, was zueinander passt.