Kommutativer Ring/Zahlentheorie/Elementeigenschaften/Teilbarkeit/Einführung/Textabschnitt

In einem Körper folgt aus  $xy=0$,  dass ein Faktor $0$ sein muss. Diese Eigenschaft gilt nicht für beliebige Ringe. Ein Element  $f\in R$  in einem kommutativen Ring heißt Nichtnullteiler, wenn aus  $fg=0$  stets  $g=0$  folgt. Man nennt einen Ring nullteilerfrei, wenn $0$ der einzige Nullteiler ist.

Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Der Ring $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen und die Polynomringe $K[X]$ über einem Körper $K$ sind Integritätsbereiche. Das sind für uns besonders wichtige Beispiele. Ein Unterring eines Körpers ist ein Integritätsbereich.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und $a,b$ Elemente in $R$. Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es ein  $c\in R$  derart gibt, dass  $b=c\cdot a$  ist. Man schreibt dafür auch $a|b$.

Eine Einheit kann man als einen Teiler der $1$ auffassen. Idealtheoretisch kann man die Eigenschaft, dass $a$ das Element $b$ teilt, als Zugehörigkeit  $b\in Ra$  auffassen.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente  $a,b\in R$  teilerfremd sind, wenn jedes Element  $c\in R$,  das sowohl $a$ als auch $b$ teilt, eine Einheit ist.

Definition

Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung  $p=ab$  nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Diese Begriffsbildung orientiert sich offenbar an den Primzahlen. Dagegen taucht das Wort „prim“ in der folgenden Definition auf.

Definition

Eine Nichteinheit  $p\ne 0$  in einem kommutativen Ring $R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn Folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt $p$ einen der Faktoren.

Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass $1$ keine Primzahl ist. Dabei ist die $1$ nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist. Für die ganzen Zahlen und für viele weitere Ringe fallen die beiden Begriffe prim und irreduzibel zusammen. Im Allgemeinen ist irreduzibel einfacher nachzuweisen, und prim ist der stärkere Begriff, jedenfalls für Integritätsbereiche.

Lemma

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung  $p=ab$.  Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir  $a=ps$.  Dann ist  $p=psb$  bzw.  $p(1-sb)=0$.  Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt  $1=sb$,  sodass also $b$ eine Einheit ist.

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