Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}f\in {\mathfrak {q}}$ ein minimales Primoberideal. Wir können an ${}{\mathfrak {q}}$ lokalisieren. Dann ist zu zeigen, dass ein lokaler noetherscher Ring, in dem das maximale Ideal minimal über einem Element ${}f$ ist, die Dimension ${}0$ oder ${}1$ besitzt. Da eine Primidealkette mit einem Primideal beginnt, können wir weiterhin annehmen, dass ein noetherscher lokaler Integritätsbereich vorliegt. Es sei jetzt angenommen, dass eine Primidealkette

${}0\subseteq {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}\,$

vorliegt und dass ${}{\mathfrak {m}}$ minimal über ${}f\neq 0$ ist. Es ist ${}{\mathfrak {p}}=0$ zu zeigen. Der Restklassenring ${}R/(f)$ ist noethersch und besitzt die Dimension ${}0$, da ja darin ${}{\mathfrak {m}}$ das einzige Primideal ist. Somit ist nach Aufgabe der Ring ${}R/(f)$ auch artinsch, d.h. jede absteigende Idealkette in ${}R/(f)$ wird stationär. Dies bedeutet wiederum, dass jede absteigende Idealkette in ${}R$ oberhalb von ${}Rf$ stationär wird. Wir betrachten die absteigende Idealkette

${}{\mathfrak {p}}^{(1)}+Rf\supseteq {\mathfrak {p}}^{(2)}+Rf\supseteq {\mathfrak {p}}^{(3)}+Rf\subseteq \ldots \,$

in ${}R$, wobei wir symbolische Potenzen verwenden, und die entsprechende absteigende Kette in ${}R/(f)$. Da dieser Ring artinsch ist, wird diese Kette konstant, d.h. es gibt ein ${}n$ mit

${}{\mathfrak {p}}^{(n)}+Rf={\mathfrak {p}}^{(n+1)}+Rf\,.$

Wir behaupten, dass sogar

${}{\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{(n+1)}+{\mathfrak {p}}^{(n)}f\,$

gilt, wobei die Inklusion ${}\supseteq$ klar ist. Es sei also ${}g\in {\mathfrak {p}}^{(n)}$. Wegen der ersten Gleichung ist

${}g=h+rf\,$

mit ${}h\in {\mathfrak {p}}^{(n+1)}$. Wegen ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ ist

${}r={\frac {g-h}{f}}\in {\mathfrak {p}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R={\mathfrak {p}}^{(n)}\,.$

Die zuletzt bewiesene Gleichheit ergibt modulo ${}{\mathfrak {p}}^{(n+1)}$ die Beziehung

${}{\mathfrak {p}}^{(n)}/{\mathfrak {p}}^{(n+1)}={\left({\mathfrak {p}}^{(n)}/{\mathfrak {p}}^{(n+1)}\right)}\cdot (f)\,.$

Dies bedeutet wiederum

${}{\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{(n+1)}\,$

nach dem Lemma von Nakayama. Dies bedeutet in ${}R_{\mathfrak {p}}$

${}{\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n}={\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n+1}\,.$

Dies ergibt aber, wieder nach einer Version des Lemmas von Nakyama (siehe Aufgabe), zunächst

${}{\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n}=0\,$

und, da ${}R$ integer ist,

${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=0\,$

und somit ${}{\mathfrak {p}}=0$.

Zur bewiesenen Aussage