Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei ein minimales Primoberideal. Wir können an lokalisieren. Dann ist zu zeigen, dass ein lokaler noetherscher Ring, in dem das maximale Ideal minimal über einem Element ist, die Dimension oder besitzt. Da eine Primidealkette mit einem Primideal beginnt, können wir weiterhin annehmen, dass ein noetherscher lokaler Integritätsbereich vorliegt. Sei jetzt angenommen, dass eine Primidealkette

vorliegt und dass minimal über ist. Es ist zu zeigen. Der Restklassenring ist noethersch und besitzt die Dimension , da ja darin das einzige Primideal ist. Somit ist nach Aufgabe der Ring auch artinsch, d.h. jede absteigende Idealkette in wird stationär. Dies bedeutet wiederum, dass jede absteigende Idealkette in oberhalb von stationär wird. Wir betrachten die absteigende Idealkette

in , wobei wir symbolische Potenzen verwenden, und die entsprechende absteigende Kette in . Da dieser Ring artinsch ist, wird diese Kette konstant, d.h. es gibt ein mit

Wir behaupten, dass sogar

gilt, wobei die Inklusion klar ist. Sei also . Wegen der ersten Gleichung ist

mit . Wegen ist

Die zuletzt bewiesene Gleichheit ergibt modulo die Beziehung

Dies bedeutet wiederum

nach dem Lemma von Nakayama. Dies bedeutet in

Dies ergibt aber, wieder nach einer Version des Lemmas von Nakyama (siehe Aufgabe), zunächst

und, da integer ist,

und somit .

Zur bewiesenen Aussage