Kompakte Fläche/Triangulierung/Henkelanheftung/Euler-Poincare-Charakteristik/Beispiel

Es sei ${}X$ eine kompakte Fläche zusammen mit einer endlichen Triangulierung und der Euler-Poincaré-Charakteristik ${}\chi (X)$. Wir möchten einen Henkel an die Fläche ankleben. Es seien ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ disjunkte Dreiecke der Triangulierung (durch eine Verfeinerung der Triangulierung kann man davon ausgehen, dass es solche disjunkten Dreiecke gibt). Wir ändern ${}X$ zu einer neuen Fläche ${}X'$ ab, indem wir uns außerhalb der Fläche ein Dreieck ${}T$ dazudenken (man kann sich vorstellen, dass sich alles oberhalb einer Kreisscheibe abspielt, in der es die beiden Dreiecke gibt. Das dritte Dreieck wird oberhalb der „Mitte“ der beiden Dreiecke senkrecht platziert) und dieses mit den beiden Dreiecken verbindet. Es entsteht also zweimal ein Zylindermantel zu einer dreieckigen Grundfläche (ohne irgendeine Bedingung an Parallelität oder Rechtwinkligkeit oder dergleichen). Jede Mantelfläche (die konvexe Vierecke sind) zerlegen wir in zwei Dreiecke. Dadurch entsteht ein neuer topologischer Raum mit einer Triangulierung, wobei wir den Raum auch glatt realisieren können. Bei diesem Prozess gehen ${}2$ Dreiecke der Triangulation verloren und es kommen ${}12$ neue dazu. Es kommen ${}12$ Kanten auf den Zylindern und ${}3$ Kanten auf ${}T$ hinzu und es kommen ${}3$ Eckpunkte hinzu. Die Differenz der Euler-Poincaré-Charakteristik von ${}X'$ zu ${}X$ ist also

${}\chi (X')-\chi (X)=-2+12-15+3=-2\,.$

Bei der Hinzunahme eines Henkels reduziert sich also die Euler-Poincaré-Charakteristik um ${}2$.