Kompakte riemannsche Fläche/Jacobische Varietät/Basis/Globale Differentialformen/Bemerkung

Die Jacobische Varietät zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ vom Geschlecht ${}g$ lässt sich auch folgendermaßen konstruieren. Es seien ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}\in \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$ holomorphen Differentialformen, die eine Basis des Raumes aller holomorphen Differentialformen bilden. Dies legt die Auswertung

$\pi _{1}(X)\longrightarrow {\mathbb {C} }^{g},\,\gamma \longmapsto \left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right),$

fest, das Bild davon nennt man das Periodengitter zur gegebenen Basis. Es liegt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}\pi _{1}(X)&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&{\mathbb {C} }^{g}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei der vertikale Pfeil eine Linearform ${}\ell \colon \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf das Auswertungstupel ${}\left(\ell (\omega _{1}),\,\ldots ,\,\ell (\omega _{g})\right)$ abbildet. Dabei wird das Periodengitter ${}\operatorname {Per}$ in das Periodengitter zur Basis überführt.