Kompakte riemannsche Fläche/Punkt/Meromorphe Funktion/Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ endlichdimensional, sei ${}g$ die Dimension. Es sei ${}P\in U$ eine offene Umgebung, die einer offenen Kreisscheibe in ${}{\mathbb {C} }$ mit Koordinate ${}z$ entspreche, und sei

${}V=X\setminus \{P\}\,.$

Dann ist ${}U,V$ eine offene Überdeckung von ${}X$ und ${}U\cap V$ ist eine punktierte Kreisscheibe. Jede auf ${}U\cap V$ definierte holomorphe Funktion definiert via Čech-Kohomologie eine Kohomologieklasse in ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Dies wenden wir auf die Potenzen ${}z^{-1},z^{-2},z^{-3},\ldots$ an. Wegen der Endlichdimensionalität der Kohomologiegruppe muss es in ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ eine nichttriviale lineare Abhängigkeit zwischen den Klassen ${}[z^{-1}],[z^{-2}],\ldots ,[z^{-g-1}]$ geben. D.h. es gibt eine Linearkombination

${}h=\sum _{i=1}^{g+1}c_{i}z^{-i}\,,$

wo nicht alle Koeffizienten ${}c_{i}$ gleich ${}0$ sind, dessen Klasse die Nullklasse ist. Nach Fakt ist die Zuordnung ${}{\check {H}}^{1}(U,V,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ injektiv. Daher ist auch ${}h$ in der Čech-Kohomologie zur gegebenen Überdeckung trivial. Das bedeutet, dass es holomorphe Funktionen

${}f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$

und

${}{\tilde {f}}\in \Gamma {\left(V,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$

gibt mit

${}h=f-{\tilde {f}}\,$

auf ${}U\cap V$. Dann ist

${}{\tilde {f}}=f-h\,$

eine insgesamt meromorphe Funktion auf ${}X$, die auf ${}X\setminus \{P\}$ holomorph ist. Auf ${}U$ liegt eine nichtkonstante meromorphe Funktion mit (eventuell) einem Pol in ${}P$ vor, der nur von ${}h$ abhängt und dessen Polordnung höchstens ${}g+1$ ist.

Zur bewiesenen Aussage