Kompaktheit/R^n/Stetige Abbildung/Bild wieder kompakt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\in f(T)$  eine Folge, wobei wir  $y_n=f(x_n)$  mit  $x_n\in T$  schreiben können. Da $T$ kompakt ist, gibt es nach Fakt eine konvergente Teilfolge $x_{n_i},i\in \mathbb{N}$, die gegen ein  $x\in T$  konvergiert. Aufgrund der Stetigkeit konvergiert auch die Bildfolge  $y_{n_i}=f(x_{n_i})$  gegen $f(x)$. Damit ist eine konvergente Teilfolge gefunden und $f(T)$ ist kompakt nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage