Kompaktheit/R^n/Stetige Abbildung/Bild wieder kompakt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in f(T)$  eine Folge, wobei wir  ${}y_{n}=f(x_{n})$  mit  ${}x_{n}\in T$  schreiben können. Da ${}T$ kompakt ist, gibt es nach Fakt eine konvergente Teilfolge ${}x_{n_{i}},\,i\in \mathbb {N}$, die gegen ein  ${}x\in T$  konvergiert. Aufgrund der Stetigkeit konvergiert auch die Bildfolge  ${}y_{n_{i}}=f(x_{n_{i}})$  gegen ${}f(x)$. Damit ist eine konvergente Teilfolge gefunden und ${}f(T)$ ist kompakt nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage