Kompaktheit/R^n/Stetige Abbildung/Bild wieder kompakt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in f(T)$ eine Folge, wobei wir ${}y_{n}=f(x_{n})$ mit ${}x_{n}\in T$ schreiben können. Da ${}T$ kompakt ist, gibt es nach Fakt eine konvergente Teilfolge ${}x_{n_{i}},\,i\in \mathbb {N}$, die gegen ein ${}x\in T$ konvergiert. Aufgrund der Stetigkeit konvergiert auch die Bildfolge ${}y_{n_{i}}=f(x_{n_{i}})$ gegen ${}f(x)$. Damit ist eine konvergente Teilfolge gefunden und ${}f(T)$ ist kompakt nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage