Kompaktheit/R^n/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt ist $f(T)$ kompakt, also abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist  $f(T)\le M$  für eine reelle Zahl $M$. Wegen  $T\ne \mathrm{\varnothing }$  besitzt $f(T)$ wegen Fakt ein Supremum $s$ in $ℝ$, das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu $f(T)$ gehört, also das Maximum von $f(T)$ ist. Daher gibt es auch ein  $x\in T$  mit  $f(x)=s$. 

Zur bewiesenen Aussage