Kompaktheit/R^n/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt ist ${}f(T)$ kompakt, also abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist ${}f(T)\leq M$ für eine reelle Zahl ${}M$ . Wegen ${}T\neq \emptyset$ besitzt ${}f(T)$ wegen Fakt ein Supremum ${}s$ in ${}\mathbb {R}$ , das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu ${}f(T)$ gehört, also das Maximum von ${}f(T)$ ist. Daher gibt es auch ein ${}x\in T$ mit ${}f(x)=s$ .