Komplex-differenzierbare Funktion/Potenzreihenentwicklung/Koeffizientenformel/Fakt/Beweis

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei ${}a=0$. Nach der Integralformel gilt für jedes ${}z\in U$

${}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\delta }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,$

mit einem einfachen Umlaufweg

$\delta \colon [0,1]\longrightarrow U,\,t\longmapsto z+re^{2\pi {\mathrm {i} }t},$

um ${}z$ in ${}U$. Nach Fakt gilt auch

${}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,$

mit einem Umlaufweg um ${}0$ in ${}U$, wobei ${}B\left(0,r\right)\subseteq U$ gelten und ${}z$ im Innern dieses Kreises sein muss. Wir schreiben den Integranden als

${}{\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z}{w}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}\,.$

Hierbei ist ${}f(w)$ auf dem Kreis (bzw. ${}f{\left(re^{2\pi {\mathrm {i} }t}\right)}$ auf dem Intervall) beschränkt und daher konvergiert diese Reihe für festes ${}z$ absolut und (als Funktion in ${}w$) gleichmäßig gegen die Grenzfunktion. Nach Fakt (angewendet auf Real- und Imaginärteil), kann man den Grenzwert der Reihe mit dem Integral vertauschen, daher ist

${}{\begin{aligned}f(z)&=\int _{\gamma }{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{w^{k}}}dw\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}.\end{aligned}}$

Da dies für jedes ${}z$ im Innern der Kreisscheibe gilt und die Koeffizienten unabhängig von ${}z$ sind, liegt eine beschreibende konvergente Potenzreihe vor.

Zur bewiesenen Aussage