Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt ist

$\begin{array}{cc}\exp {}^{\prime }(z)& ={\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}\right)}^{\prime }\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z^n}{n!}\right)}^{\prime }\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{n!}{z}^{n-1}\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n-1)!}{z}^{n-1}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}\\ & =\exp z.\end{array}$

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