Komplexe Mannigfaltigkeit/Normale Überlagerung/Differenzierbare Funktion/Aufgabe

Es sei $p:Y\to X$ eine holomorphe Überlagerung zwischen den komplexen Mannigfaltigkeiten $X$ und $Y$.

1. Zeige, dass zu einer $ℂ$-wertigen unendlich oft reell-differenzierbaren Funktion $h:X\to ℂ$ die nach $Y$ zurückgezogene Funktion

   $g:=h\circ p$

   die Eigenschaft besitzt, dass für jede Decktransformation $\theta :Y\to Y$ die Gleichheit

   $g\circ \theta =g$

   gilt.

2. Die Überlagerung sei nun normal. Es sei

   $g:Y⟶ℂ$

   eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation $\theta$ die Identität  $g\circ \theta =g$  gilt. Zeige, dass es eine differenzierbare Funktion $h:X\to ℂ$ mit  $g=h\circ p$  gibt.

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