Komplexe Potenzreihe/Entwicklungssatz/Fakt

Entwicklungssatz für Potenzreihen

Es sei

${}f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$ und sei ${}b\in U{\left(a,R\right)}$.

Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

${}h=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}\,$

mit Entwicklungspunkt ${}b$ und mit einem Konvergenzradius ${}s\geq R-\vert {a-b}\vert >0$ derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf ${}U{\left(a,R\right)}\cap U{\left(b,s\right)}$ übereinstimmen.

Die Koeffizienten von ${}h$ sind

${}d_{i}=\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}(b-a)^{n-i}\,$

und insbesondere ist

${}d_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }nc_{n}(b-a)^{n-1}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen