Komplexe Zahlen/C-wertige 1-Form/Holomorph und geschlossen/Fakt/Beweis

Beweis

Die äußere Ableitung von

${}\omega ={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}dx+{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}dy\,$

ist

${}{\begin{aligned}d\omega &=d{\left(g+h{\mathrm {i} }dx\right)}+d{\left(g{\mathrm {i} }-hdy\right)}\\&=d{\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}\wedge dx+d{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}\wedge dy\\&={\left({\frac {\partial g}{\partial y}}dy+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}dy\right)}\wedge dx+{\left({\mathrm {i} }{\frac {\partial g}{\partial x}}dx-{\frac {\partial h}{\partial x}}dx\right)}\wedge dy\\&={\left(-{\frac {\partial g}{\partial y}}-{\frac {\partial h}{\partial x}}+{\left(-{\frac {\partial h}{\partial y}}+{\frac {\partial g}{\partial x}}\right)}{\mathrm {i} }\right)}dx\wedge dy.\end{aligned}}$

Die Geschlossenheit bedeutet, dass dieser Ausdruck gleich ${}0$ ist, und dies bedeutet, dass beide Komponentenfunktionen ${}0$ sind. Dies bedeutet gerade, dass die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind, was nach Fakt zur komplexen Differenzierbarkeit äquivalent ist.

Zur bewiesenen Aussage