Komplexe Zahlen/C-wertige 1-Form/Holomorph und geschlossen/Fakt

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, sei ${}f=g+h{\mathrm {i} }\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Abbildung mit reell total differenzierbare reellwertigen Koeffizientenfunktionen ${}g,h\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Wir betrachten die ${}{\mathbb {C} }$-wertige Differentialform auf ${}U$ mit der Darstellung

${}\omega =fdz={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x+y{\mathrm {i} }\right)}={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}dx+{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}dy\,.$

Dann ist ${}f$ genau dann komplex differenzierbar, wenn ${}\omega$ eine geschlossene Differentialform ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen