Komplexe Zahlen/C-wertige 1-Form/Holomorph und geschlossen/Fakt

Es sei  $U\subseteq ℂ$  offen, sei $f=g+h\mathrm{i}:U\to ℂ$ eine Abbildung mit reell total differenzierbare reellwertigen Koeffizientenfunktionen $g,h:U\to ℝ$. Wir betrachten die $ℂ$-wertige Differentialform auf $U$ mit der Darstellung

$\omega =fdz=(g+h\mathrm{i})d(x+y\mathrm{i})=(g+h\mathrm{i})dx+(g\mathrm{i}-h)dy.$

Dann ist $f$ genau dann komplex differenzierbar, wenn $\omega$ eine geschlossene Differentialform ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen