Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Äußere Ableitung/Definition

Äußere Ableitung einer 1-Form

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige differenzierbare ${}1$-Differentialform auf ${}U$, die bezüglich einer Basis von ${}V$ mit Koordinatenfunktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Beschreibung

${}\omega =\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}dx_{i}\,$

mit ${}W$-wertigen differenzierbaren Funktionen

$\psi _{i}\colon U\longrightarrow W$

besitze. Dann versteht man unter der äußeren Ableitung von ${}\omega$ die ${}2$-Form

${}{\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d\psi _{j}\wedge dx_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \psi _{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\right)}\wedge dx_{j}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial \psi _{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial \psi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}$