Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Holomorphe Differentialform um Punkt/Residuum/Rückzug/Fakt/Beweis2

Beweis

Wegen ${}\varphi '(P)\neq 0$ liegt nach Fakt lokal um ${}P$ eine biholomorphe Abbildung vor. Eine einfache Umrundung ${}\gamma$ von ${}P$ wird daher auf die topologisch einfache Umrundung ${}\varphi \circ \gamma$ von ${}\varphi (P)$ abgebildet. Nach Fakt und Fakt ist somit

${}\operatorname {Res} _{P}\left(\varphi ^{*}\omega \right)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega ={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\varphi \circ \gamma }\omega =\operatorname {Res} _{\varphi (P)}\left(\omega \right)\,.$

Zur bewiesenen Aussage