Komplexe Zahlen/Quadratwurzeln/Textabschnitt

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Die imaginäre Einheit hat die wichtige Eigenschaft . Das Negative von besitzt die gleiche Eigenschaft, nämlich

Damit gibt es zu jeder negativen reellen Zahl (mit positiv) in die beiden Quadratwurzeln und . Im folgenden Beispiel zeigen wir, dass nicht nur jede reelle Zahl in eine Quadratwurzel besitzt, sondern überhaupt jede komplexe Zahl.


Beispiel  

Es sei eine komplexe Zahl. Dann hat die komplexe Zahl

mit dem Vorzeichen

die Eigenschaft

Insbesondere besitzt also zwei Quadratwurzeln, nämlich und , die bei zusammenfallen.

Wir zeigen dies für den Fall

Dann ist


Daraus ergibt sich, dass innerhalb von jede quadratische Gleichung

mit , mindestens eine komplexe Lösung besitzt, siehe Aufgabe.