Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Holomorphe Ableitung/Rechenregeln/Fakt/Beweis

Beweis

(1) für reelles ${}c$ und (2) folgen aus den entsprechenden Regeln für die partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial }{\partial x}}$ und ${}{\frac {\partial }{\partial y}}$ gemäß Fakt. Für komplexes ${}c$ muss man zusätzlich die Zerlegung ${}f=h+g{\mathrm {i} }$ heranziehen. Zum Beweis von (3) verwenden wir die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also

${}{\frac {\partial (fg)}{\partial x}}=f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\,$

und

${}{\frac {\partial (fg)}{\partial y}}=f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\,,$

die in dieser Form auf Aufgabe beruht. Somit ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial (fg)}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial fg}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial fg}{\partial y}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\left(f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\left(f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&=f{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}+g{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&=f{\frac {\partial g}{\partial z}}+g{\frac {\partial f}{\partial z}}.\end{aligned}}$

Für die Quotientregel siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage