Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Holomorphe Ableitung/Rechenregeln/Fakt

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die holomorphe Ableitung ${}{\frac {\partial }{\partial z}}$ folgende Regeln.

1. Es ist

   ${}{\frac {\partial (cf)}{\partial z}}=c{\frac {\partial f}{\partial z}}\,$

   für eine Konstante ${}c\in {\mathbb {C} }$.

2. Es ist

   ${}{\frac {\partial (f+g)}{\partial z}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial g}{\partial z}}\,.$

3. Es ist

   ${}{\frac {\partial (fg)}{\partial z}}=f{\frac {\partial g}{\partial z}}+g{\frac {\partial f}{\partial z}}\,.$

4. Es ist

   ${}{\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial z}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial z}}-f{\frac {\partial g}{\partial z}}}{g^{2}}}\,$

   auf dem nullstellenfreien Ort zu ${}g$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen