Komplexer Endomorphismus/Komplexe und reelle Determinante/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine ${}{\mathbb {C} }$-lineare Abbildung. Wir betrachten ${}V$ auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf ${}\varphi$ auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit ${}\psi$ bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung

${}\vert {\det \varphi }\vert ^{2}=\det \psi \,$

besteht.

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