Kreis/Überdeckung/Möbiuszykel/Komplexe stetige Trivialisierung/Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten

${}S^{1}=U\cup V\,,$

deren Durchschnitt

${}U\cap V=S\cup T\,$

die Vereinigung von zwei Intervallen ist. Wir betrachten verschiedene Garben von kommutativen Gruppen, die wir multiplikativ schreiben. Es sei ${}h$ die auf ${}U\cap V$ definierte Funktion, die durch den konstanten Wert ${}1$ auf ${}S$ und den Wert ${}-1$ auf ${}T$ gegeben ist. Dies ist ein nichttrivialer Čech-Kozykel für die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ zu einem Körper ${}K$ und ebenso in der Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in ${}{\mathbb {K} }^{\times }$, wobei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} {\text{ oder }}{\mathbb {C} }$ ist. Ob dieser Kozykel eine nichttriviale Čech-Kohomologieklasse in ${}{\check {H}}^{1}(\{U,V\},{\mathcal {G}})$ definiert ist äquivalent dazu, ob es (lokal konstante, stetige) Funktionen ${}f\colon U\rightarrow K^{\times }$und ${}g\colon V\rightarrow K^{\times }$ mit ${}h=fg^{-1}$ gibt. Im lokal konstanten Fall ist dies nicht möglich, da lokal konstante Funktionen auf den zusammenhängenden Segmenten ${}U$ bzw. ${}V$ konstant sind und daher auch ${}fg^{-1}$ konstant ist, also ${}\neq h$. Bei der Garbe der stetigen reellwertigen nullstellenfreien Funktionen ist es ebenfalls nicht möglich. In diesem Fall haben ${}f$ und ${}g$ konstantes Vorzeichen und somit stimmt ${}fg^{-1}$ nur auf genau einem Intervall des Durchschnittes mit ${}h$ überein. Die zugehörige nichttriviale erste Čech-Kohomologieklasse

${}[h]\in {\check {H}}^{1}(\{U,V\},C^{0}(-,\mathbb {R} ^{\times }))\,$

repräsentiert das Möbiusband über dem Einheitskreis. Im komplexen Fall ist es hingegen möglich, ${}h$ als einen Quotienten von zwei nullstellenfreien komplexwertigen stetigen Funktionen zu schreiben, man kann ${}g=1$ und für ${}f$ eine Funktion nehmen, die auf ${}S$ die konstante ${}1$-Funktion und auf ${}T$ die konstante ${}-1$-Funktion und dazwischen, also auf ${}U\setminus \{S\cup T\}$, die Werte stetig entlang des komplexen Einheitskreises wählt.