Beweis
Nehmen wir an, dass
nicht irreduzibel über
ist. Dann gibt es nach
Fakt
eine Zerlegung
mit normierten Polynomen
von kleinerem Grad. Wir fixieren eine
primitive
-te Einheitswurzel
. Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome
und daher ist
(ohne Einschränkung)
.
Wir können annehmen, dass
irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von
ist. Wir werden zeigen, dass jede primitive
-te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von
ist. Dann folgt aus Gradgründen
im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man als
mit einer zu
teilerfremden Zahl
schreiben. Es genügt dabei, den Fall
mit einer zu
teilerfremden Primzahl
zu betrachten, da sich jedes
sukzessive als
-Potenz von
erhalten lässt
(wobei man
sukzessive durch
ersetzt und
verwendet). Nehmen wir also an, dass
ist. Dann muss
sein. Daher ist
eine Nullstelle des Polynoms
und daher gilt
mit
, da ja
das Minimalpolynom von
ist. Wegen
Aufgabe
gehören die Koeffizienten von
zu
. Wir betrachten nun die Polynome
modulo
, also als Polynome in
, wobei wir dafür
usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik
und wegen
des kleinen Fermat'schen Satzes
gilt
-

Daher ist
-

Es sei nun
der Zerfällungskörper von
über
, sodass über
insbesondere auch
und damit auch
in Linearfaktoren zerfällt. Es sei
eine Nullstelle von
. Dann ist
wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von
. Wegen
ist dann
eine mehrfache Nullstelle von
. Damit besitzt auch
eine mehrfache Nullstelle in
. Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber
und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht
. Also erzeugt das Polynom
und seine Ableitung das Einheitsideal, sodass es nach
Aufgabe
keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.