Beweis
Die Äquivalenz von (1) und (2) und die von (3) und (4) ist klar. Die Einheitengruppe von 
ist
nach Fakt
zyklisch
mit 
Elementen, das 
-te Potenzieren wird unter dieser Identifizierung zum -ten Multiplizieren,
-
Die -ten Einheitswurzeln entsprechen dabei dem Kern dieser Abbildung. Wenn ein Teiler von ist, so sei
.
In diesem Fall sind 
die verschiedenen Elemente des Kerns, was die Implikation von (1) nach (3) beweist. Umgekehrt besitzt der Kern wie jede Untergruppe von 
einen Erzeuger 
, der ein Teiler von ist. Wenn der Kern aus Elementen besteht, so ist
,
was die andere Implikation beweist.
Von (4) nach (5) ist klar, da das Kreisteilungspolynom ein Teiler von 
ist. Die Äquivalenz von (5) und (6) ist auch klar, da ![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(q)[X]/{\left(\Phi _{n}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c4040eefb2b4cf3af261591fc51b583f08d205)
der Faserring über 
ist und da das Kreisteilungspolynom den Grad 
besitzt. Die Eigenschaft (5) impliziert unmittelbar den ersten Teil von (7). Wäre 
verzweigt in 
, so wäre nach
Fakt
ein Teiler von , sagen wir
,
und dann wäre
-
über . Doch dann hätte das Kreisteilungspolynom mehrfache Nullstellen.
Von (7) nach (3). Zunächst ist nach
Fakt
kein Teiler von , d.h. ist eine Einheit in 
. Es sei 
die
(multiplikative)
Ordnung von in 
. Dann gibt es in 
verschiedene -te Einheitswurzeln. Nach Voraussetzung gibt es eine Nullstelle 
des Kreisteilungspolynoms 
über 
. Dessen Potenzen durchlaufen in die -ten Einheitswurzeln. Da die Potenzen aber zu gehören, ist
.
