Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) und die von (3) und (4) ist klar. Die Einheitengruppe von ist nach Fakt zyklisch mit Elementen, das -te Potenzieren wird unter dieser Identifizierung zum -ten Multiplizieren,

Die -ten Einheitswurzeln entsprechen dabei dem Kern dieser Abbildung. Wenn ein Teiler von ist, so sei . In diesem Fall sind die verschiedenen Elemente des Kerns, was die Implikation von (1) nach (3) beweist. Umgekehrt besitzt der Kern wie jede Untergruppe von einen Erzeuger , der ein Teiler von ist. Wenn der Kern aus Elementen besteht, so ist , was die andere Implikation beweist.

Von (4) nach (5) ist klar, da das Kreisteilungspolynom ein Teiler von ist. Die Äquivalenz von (5) und (6) ist auch klar, da der Faserring über ist und da das Kreisteilungspolynom den Grad besitzt. Die Eigenschaft (5) impliziert unmittelbar den ersten Teil von (7). Wäre verzweigt in , so wäre nach Fakt ein Teiler von , sagen wir , und dann wäre

über . Doch dann hätte das Kreisteilungspolynom mehrfache Nullstellen.

Von (7) nach (3). Zunächst ist nach Fakt kein Teiler von , d.h. ist eine Einheit in . Es sei die (multiplikative) Ordnung von in . Dann gibt es in verschiedene -te Einheitswurzeln. Nach Voraussetzung gibt es eine Nullstelle des Kreisteilungspolynoms über . Dessen Potenzen durchlaufen in die -ten Einheitswurzeln. Da die Potenzen aber zu gehören, ist .