Kreisteilungsring/p/Einheitswurzeln/Logarithmische Ableitung/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}\zeta$ eine primitive ${}p$-te Einheitswurzel. Diese geht unter der logarithmischen Ableitung auf

${}{\begin{aligned}\zeta ^{-1}d\zeta &=\zeta ^{p-1}d\zeta \\&=-{\left(\sum _{j=0}^{p-2}\zeta ^{j}\right)}d\zeta \\&=-\zeta ^{p-2}d\zeta -{\left(\sum _{j=0}^{p-3}\zeta ^{j}\right)}d\zeta \\&=-{\left(\sum _{j=0}^{p-3}(j+1)\zeta ^{j}\right)}d\zeta -{\left(\sum _{j=0}^{p-3}\zeta ^{j}\right)}d\zeta \\&=-{\left(\sum _{j=0}^{p-3}(j+2)\zeta ^{j}\right)}d\zeta ,\end{aligned}}$

wobei wir Aufgabe verwendet haben. Dies ist nicht ${}0$ (sogar in jeder Komponente), daher hat es die Ordnung ${}p$. Das Bild besteht also aus ${}p$ Elementen, und da die Einheitswurzelgruppe aus ${}2p$ Elementen besteht, ist der Kern zweielementig. Wegen ${}(-1)d(-1)=0$

ist der Kern gleich ${}\{\pm 1\}$.

Zur gelösten Aufgabe