Wir verwenden
Aufgabe.
Die Ableitung ist . Ein Element
,
das simultan eine Nullstelle des Polynoms und der Ableitung ist, erfüllt auch
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und
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bzw.
-
Damit ist
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und
-
und somit
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also
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Es sei nun umgekehrt
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Wir setzen zuerst voraus, dass die Charakterisitik ist. Dann ist
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Nach
Aufgabe
gibt es ein
mit
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und
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Dies ist eine Nullstelle der Ableitung, es ist aber auch
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In Charakteristik folgt, wenn die Diskriminante gleich ist, direkt
.
Dann ist
und die Ableitung ist ein Faktor des Polynoms.
In Charakteristik folgt direkt
.
In diesem Fall ist mit einer dritten Wurzel aus
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es liegt also eine mehrfache Nullstelle vor.