Wir verwenden
Aufgabe.
Die Ableitung ist
. Ein Element
,
das simultan eine Nullstelle des Polynoms und der Ableitung ist, erfüllt auch
-
![{\displaystyle {}3x^{2}=a\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd6edd4e88aa44a384710240d99c42ee45c1450)
und
-
![{\displaystyle {}x^{3}+(-3x^{2})x+b=-2x^{3}+b\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc89d43e093b969268f763a86b1dce05a64ae43)
bzw.
-
![{\displaystyle {}b=2x^{3}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0e07f9a5061934b15e97d11c80936c23a78274)
Damit ist
-
![{\displaystyle {}a^{3}=-27x^{6}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c298585c77eb9f38409b6413c9305a45a734a1)
und
-
![{\displaystyle {}b^{2}=4x^{6}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050a5ed6999bd28cf0a0703de77779edd52e30a1)
und somit
-
![{\displaystyle {}27b^{2}=108x^{6}=-4a^{3}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd302983f4cc3ccf0fbe2d273426f30f0b742d5)
also
-
![{\displaystyle {}4a^{3}+27b^{2}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29930520fd3fdaadcd245048a93560072fa49326)
Es sei nun umgekehrt
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![{\displaystyle {}4a^{3}+27b^{2}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29930520fd3fdaadcd245048a93560072fa49326)
Wir setzen zuerst voraus, dass die Charakterisitik
ist. Dann ist
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![{\displaystyle {}{\left(-{\frac {a}{3}}\right)}^{3}={\left({\frac {b}{2}}\right)}^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5cb7cfc07af08459250f15087e978cfbd07bac)
Nach
Aufgabe
gibt es ein
mit
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![{\displaystyle {}x^{3}={\frac {b}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302f7ad31e25e307afb3333ce08b423cd0f9c470)
und
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![{\displaystyle {}x^{2}=-{\frac {a}{3}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d95884846996b0c1917bfadf12ff6b71145af3f)
Dies ist eine Nullstelle der Ableitung, es ist aber auch
-
![{\displaystyle {}x^{3}+ax+b=x^{3}-3x^{2}x+2x^{3}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d90764ddab23f88f8487bb1c572b72b73b97fdc)
In Charakteristik
folgt, wenn die Diskriminante gleich
ist, direkt
.
Dann ist
und die Ableitung ist ein Faktor des Polynoms.
In Charakteristik
folgt direkt
.
In diesem Fall ist mit einer dritten Wurzel
aus
-
![{\displaystyle {}X^{3}+b=(X+u)^{3}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ee54957bd4c6b33637a8b3b373f2efb0b11233)
es liegt also eine mehrfache Nullstelle vor.