Kubisches Polynom/Diskriminante/Nullstellenverhalten/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Aufgabe. Die Ableitung ist ${}3X^{2}+a$. Ein Element  ${}x\in K$,  das simultan eine Nullstelle des Polynoms und der Ableitung ist, erfüllt auch

${}3x^{2}=a\,$

und

${}x^{3}+(-3x^{2})x+b=-2x^{3}+b\,$

bzw.

${}b=2x^{3}\,.$

Damit ist

${}a^{3}=-27x^{6}\,$

und

${}b^{2}=4x^{6}\,$

und somit

${}27b^{2}=108x^{6}=-4a^{3}\,,$

also

${}4a^{3}+27b^{2}=0\,.$

Es sei nun umgekehrt

${}4a^{3}+27b^{2}=0\,.$

Wir setzen zuerst voraus, dass die Charakterisitik ${}\neq 2,3$ ist. Dann ist

${}{\left(-{\frac {a}{3}}\right)}^{3}={\left({\frac {b}{2}}\right)}^{2}\,.$

Nach Aufgabe gibt es ein  ${}x\in K$  mit

${}x^{3}={\frac {b}{2}}\,$

und

${}x^{2}=-{\frac {a}{3}}\,.$

Dies ist eine Nullstelle der Ableitung, es ist aber auch

${}x^{3}+ax+b=x^{3}-3x^{2}x+2x^{3}=0\,.$

In Charakteristik ${}2$ folgt, wenn die Diskriminante gleich ${}0$ ist, direkt  ${}b=0$.  Dann ist  ${}x^{3}+ax=x(x^{2}+a)$  und die Ableitung ist ein Faktor des Polynoms.

In Charakteristik ${}3$ folgt direkt  ${}a=0$.  In diesem Fall ist mit einer dritten Wurzel ${}u$ aus ${}b$

${}X^{3}+b=(X+u)^{3}\,,$

es liegt also eine mehrfache Nullstelle vor.

Zur gelösten Aufgabe