Kubisches Polynom/Diskriminante/Nullstellenverhalten/Aufgabe/Lösung

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Wir verwenden Aufgabe. Die Ableitung ist . Ein Element , das simultan eine Nullstelle des Polynoms und der Ableitung ist, erfüllt auch

und

bzw.

Damit ist

und

und somit

also

Sei nun umgekehrt

Wir setzen zuerst voraus, dass die Charakterisitik ist. Dann ist

Nach Aufgabe gibt es ein mit

und

Dies ist eine Nullstelle der Ableitung, es ist aber auch

In Charakteristik folgt, wenn die Diskriminante gleich ist, direkt . Dann ist und die Ableitung ist ein Faktor des Polynoms.

In Charakteristik folgt direkt . In diesem Fall ist mit einer dritten Wurzel aus

es liegt also eine mehrfache Nullstelle vor.