(bzw. die Einschränkung davon auf Teilmengen wie )
nennt man Kugelkoordinatenauswertung. Diese Abbildung bildet die Kugelkoordinaten auf die zugehörigen kartesischen Koordinaten ab.
Die Bedeutung der Kugelkoordinaten sind folgendermaßen: ist der Abstand von zum Nullpunkt. Bei
definieren die beiden Winkel
und
einen Punkt auf der Einheitskugel, und zwar bestimmt einen Punkt auf dem Einheitskreis in der -Ebene
(auf dem Äquator)
und bestimmt einen Punkt auf dem zugehörigen Halbkreis
(der durch den Äquatorpunkt und Nord- und Südpol festgelegt ist),
wobei der Winkel zum Nordpol gemessen wird. Für
(
und)
einen festen Winkel parametrisiert einen Breitenkreis, wobei
den Äquator beschreibt. Bei einem festen Winkel hingegen parametrisiert den oben angesprochenen Halbkreis, einen Längenkreis. In der Geographie herrschen übrigens etwas andere Konventionen, man wählt den zweiten Winkel aus
(statt
und
spricht man von nördlicher und südlicher Breite)
und nimmt .
D.h. bei
und
ist das
totale Differential
invertierbar und daher liegt
nach Fakt
ein
lokaler Diffeomorphismus
vor. Die inhaltliche Interpretation der Abbildung zeigt, dass hier überhaupt ein Diffeomorphismus zwischen und vorliegt.