Lokaler C^k-Diffeomorphismus/Definition

Lokaler Diffeomorphismus

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ euklidische Vektorräume und ${}U_{1}\subseteq V_{1}$ und ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ offene Teilmengen. Eine Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

heißt lokaler ${}C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn es zu jedem Punkt ${}P\in U_{1}$ eine offene Umgebung ${}U_{1}'$ mit ${}P\in U_{1}'\subseteq U_{1}$ und offenem Bild ${}U_{2}':=\varphi (U_{1}')$ derart gibt, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U_{1}'$ bijektiv und ${}k$-mal stetig differenzierbar ist, und die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon U_{2}'\longrightarrow U_{1}'$

ebenfalls ${}k$-mal stetig differenzierbar ist.