Kummererweiterung/Homogene Einheiten und m-Wurzeln/Fakt/Beweis

Beweis

Die Charaktergruppe  ${}D=\operatorname {Char} \,(G,K)$  besitzt wegen der Voraussetzung über die Einheitswurzeln nach Fakt den gleichen Exponenten wie ${}G$. Für ein homogenes Element  ${}x\in L_{d}$  gilt also insbesondere  ${}x^{m}\in L_{dm}=L_{0}=K$,  sodass die linke Menge eine Teilmenge der rechten ist. Die Multiplikation ist links und rechts gleich, sodass eine Untergruppe vorliegt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}a\in L^{\times }$ mit ${}a^{m}\in K$ vorgegeben. Wir zeigen, dass ein solches Element einen Charakter der Galoisgruppe definiert. Zu  ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$  ist

${}{\left({\frac {\varphi (a)}{a}}\right)}^{m}={\frac {(\varphi (a))^{m}}{a^{m}}}={\frac {\varphi (a^{m})}{a^{m}}}={\frac {a^{m}}{a^{m}}}=1\,.$

Der Bruch  ${}\delta _{a}(\varphi )={\frac {\varphi (a)}{a}}$  ist also eine ${}m$-te Einheitswurzel und gehört somit zu ${}K^{\times }$. Für zwei Automorphismen  ${}\varphi ,\psi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$  ist dabei

${}{\begin{aligned}{\frac {(\varphi \circ \psi )(a)}{a}}&={\frac {\varphi (\psi (a))}{a}}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot {\frac {\varphi (\psi (a))}{\varphi (a)}}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot \varphi {\left({\frac {\psi (a)}{a}}\right)}\\&={\frac {\varphi (a)}{a}}\cdot {\frac {\psi (a)}{a}},\end{aligned}}$

sodass

$\delta _{a}\colon \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto {\frac {\varphi (a)}{a}},$

ein Charakter ist. Wegen  ${}\varphi (a)={\frac {\varphi (a)}{a}}a=\delta _{a}(\varphi )a$  ist  ${}a\in L_{\delta _{a}}$,  also homogen.

Zur bewiesenen Aussage