Kummererweiterung/Homogene Einheiten und m-Wurzeln/Fakt

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$ mit Galoisgruppe ${}G$, zugehöriger Charaktergruppe ${}D=\operatorname {Char} \,(G,K)$ und zugehöriger Graduierung

${}L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}\,.$

Es seien ${}H^{\times }$ die homogenen Elemente ${}\neq 0$ von ${}L$.

Dann ist die natürliche Inklusion

$H^{\times }\longrightarrow {\left\{a\in L^{\times }\mid a^{m}\in K\right\}}$

ein Gruppenisomorphismus.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen