Kurs:Algebraische Kurven/14/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {Nullstellenmenge} {}
zu einer Menge an Polynomen im Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}
}{Ein \stichwortpraemath {R} {Modul}{} $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Der \stichwort {Koordinatenring} {} zu einer
\definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein
\stichwort {glatter} {}
Punkt $P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {diskreter Bewertungsring} {.}
}{Der \stichwort {projektive Raum} {}
\mathl{{\mathbb P}^{ n }_{ K}}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt
\mathdisp {{ \left\{ P \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \mid F_j(P) = 0 \text { für alle } j \in J \right\} }} { }
das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.
}{Man nennt $M$ einen
\stichwortpraemath {R} {Modul}{,}
wenn eine Operation
\maabbeledisp {} {R \times M } { M
} {(r,v)} { rv = r\cdot v
} {,}
festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{r,s \in R}{} und \mathlk{u,v \in M}{} beliebig} {} {:}
\aufzaehlungvier{
\mathl{r(su) = (rs) u}{,}
}{
\mathl{r(u+v) = (ru) + (rv)}{,}
}{
\mathl{(r+s)u = (ru)+ (su)}{,}
}{
\mathl{1u = u}{.}
}
}{Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {Verschwindungsideal}{}{}
\mathl{\operatorname{Id} \, (V)}{} nennt man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R(V)
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]/\operatorname{Id} \, (V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den \stichwort {Koordinatenring} {} von $V$.
}{Der Punkt $P$ heißt glatt, wenn
\mathdisp {\frac{\partial F}{\partial X} (P) \neq 0 \text{ oder } \frac{\partial F}{\partial Y} (P) \neq 0} { }
gilt.
}{Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
mit der Eigenschaft, dass es bis auf
\definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{}
genau ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
in $R$ gibt.
}{Der projektive Raum
\mathl{{\mathbb P}^{ n }_{ K}}{} besteht aus allen Geraden des
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } }}{} durch den Nullpunkt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über den globalen Schnittring zu
\mathl{D(f)}{.}}{Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.}{Der Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{,}
$R$ eine
\definitionsverweis {reduzierte}{}{}
$K$-
\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{}
und sei
\mathl{V= K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} das $K$- \definitionsverweis {Spektrum}{}{}
von $R$. Es sei
\mathl{F \in R}{} mit zugehöriger offener Menge
\mathl{D(F) \subseteq V}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (D(F), {\mathcal O} )
}
{ =} { R_F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein durch teilerfremde Elemente
\mathl{e_1, \ldots, e_n}{} erzeugtes Untermonoid und sei
\maabb {} {\N^n } { M} {}
die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
\maabb {\varphi} {K[X_1 , \ldots , X_n]} {K[M]
} {.}
Dann wird das Kernideal durch
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{\ker \varphi
}
{ =} { { \left( \prod_{i \in I_1} X_i^{r_i} - \prod_{i \in I_2} X_i^{s_i} :\, I_1, I_2 \subseteq \{1, \ldots ,n\} \text{ disjunkt }, \sum_{i \in I_1} r_ie_i = \sum_{i \in I_2} s_ie_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}{Es sei $K$ ein Körper,
\mathl{K [ \![ T ]\! ]}{} der Potenzreihenring über $K$ und
\mathl{G = {\sum }_{ j =0 }^{ \infty } b _{ j } T ^{ j }}{} mit \mathkon { b_0 =0 } { und } { b_1 \neq 0 }{ .} Dann definiert der durch
\mathl{T \mapsto G}{} definierte Einsetzungshomomorpismus einen $K$-Algebraautomorphismus auf
\mathl{K [ \![ T ]\! ]}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Man erläutere das Begriffspaar \anfuehrung{lokal}{} und \anfuehrung{global}{} anhand typischer Situationen im Rahmen der Theorie der algebraischen Kurven.
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,Y)}{} kein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{
Nehmen wir an, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X,Y)
}
{ =} {(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Polynom $F \in K[X,Y]$ ist. Dann ist insbesondere
\mathkor {} {X =GF} {und} {Y= HF} {.}
Betrachtet man die erste Gleichung als Gleichung in
\mathl{(K[Y])[X]}{,} so ergibt sich, dass $F$ zu $X$ assoziiert oder eine Einheit ist. Unter Berücksichtigung der zweiten Gleichung folgt, dass $F$ eine Einheit sein muss. In diesem Fall ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X,Y)
}
{ \subset} { (F) = K[X,Y]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da keine Linearkombination von
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
gleich $1$ ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für den Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(11)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$ in $n$ Variablen und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} der Polynomring in
\mathl{n+1}{} Variablen. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich $Z$} {} {}
mit der Multiplikation verträglich ist.
}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { F_d + F_{d-1} + \cdots + F_1 + F_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { G_e + G_{e-1} + \cdots + G_1 + G_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Polynome vom Grad
\mathkor {} {d} {bzw.} {e} {}
in ihrer homogenen Zerlegung. Ihre Homogenisierungen sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{F}
}
{ =} { F_d + F_{d-1} Z + \cdots + F_1 Z^{d-1} + F_0 Z^d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{G}
}
{ =} { G_e+ G_{e-1} Z + \cdots + G_1 Z^{e-1} + G_0 Z^e
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Produkt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{F} \tilde{G}
}
{ =} { \sum_{k = 0}^{d+e} P_k Z^{d+e-k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_k
}
{ =} { \sum_{i = 0}^{d} F_i G_{k-i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Andererseits ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ FG
}
{ =} { \sum_{k = 0}^{d+e} H_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den homogenen Komponenten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H_k
}
{ =} { \sum_{ i = 0}^d F_iG_{k-i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Homogenisierung davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^{d+e} H_k Z^{d+e-k}
}
{ =} {\sum_{k = 0}^{d+e} { \left( \sum_{ i = 0}^d F_iG_{k-i} \right) } Z^{d+e-k}
}
{ =} {\sum_{k = 0}^{d+e} P_k Z^{d+e-k}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was mit der ersten Berechnung übereinstimmt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (3+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \{P_1 , \ldots , P_n \}
}
{ \subseteq }{ K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei
\definitionsverweis {algebraischen Kurven}{}{}
erhalten kann.
}{Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei
\definitionsverweis {irreduziblen}{}{}
algebraischen Kurven erhalten kann.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Man findet eine
\zusatzklammer {hinreichend generische} {} {}
Linearform, die für die Punkte unterschiedliche Werte ergibt. Man kann also annehmen, dass Koordinaten derart vorliegen, dass in den Punkten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_i
}
{ =} { (a_i,b_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die ersten Koordinaten verschieden sind. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { (X-a_1) \cdots (X-a_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir wählen ein Polynom $H$ in der einen Variablen $X$ gemäß
dem Interpolationssatz
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H(a_i)
}
{ =} { b_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ Y-H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { V(F) \cap V(G)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhält man $M$ als Durchschnitt von zwei Kurven.
} {Wir ersetzen $F$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'
}
{ = }{ Y-H+F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(G) \cap V(F')
}
{ =} { V(G) \cap V(F)
}
{ =} { M
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die beiden Kurven sind Graphen, also irreduzibel.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei nicht
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}
Zeige, dass es ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Wir betrachten die Menge der Ideale
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ {\mathfrak a} \text{ Ideal } \mid f^r \not\in {\mathfrak a} \text{ für alle } r \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enthält. Ferner ist sie induktiv geordnet
\zusatzklammer {bezüglich der Inklusion} {} {.}
Ist nämlich
\mathbed {{\mathfrak a}_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine total geordnete Teilmenge von $M$, so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von $f$ enthält.
Nach dem Lemma von Zorn
gibt es daher maximale Elemente in $M$.
Wir behaupten, dass ein solches maximales Element ${\mathfrak p}$ ein Primideal ist. Es sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ gh
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angenommen. Dann hat man echte Inklusionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak p} +(g) , {\mathfrak p} +(h)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Maximalität können die beiden Ideale rechts nicht zu $M$ gehören, und das bedeutet, dass es Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {f^r \in {\mathfrak p} +(g) \text{ und } f^s \in {\mathfrak p} +(h)} { }
gibt. Dann ergibt sich der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^rf^s
}
{ \in} { {\mathfrak p} + (gh)
}
{ \subseteq} { {\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { \R[X] / { \left( X^2+3X+5 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L
}
{ =} { \R[Y] / { \left( Y^2+4Y+7 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Stifte einen expliziten
$\R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { K } { L
} {.}
}
{
Wir setzen die beiden Ringe zueinander in Bezug, indem wir zeigen, dass beide Ringe isomorph zu $\Complex$ sind
\zusatzklammer {daher sind sie auch Körper} {} {.}
Das definierende Polynom zu $K$ schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2 +3X+5
}
{ =} { { \left( X+ { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 +5 - { \frac{ 9 }{ 4 } }
}
{ =} { { \left( X+ { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2 + { \frac{ 11 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Element
\zusatzklammer {die Restklasse von $X$ in $K$ sei $x$} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ = }{ x+ { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt also die Eigenschaft, dass sein Quadrat gleich $- { \frac{ 11 }{ 4 } }$ ist, und dies bedeutet, dass das Quadrat von
\mathl{{ \frac{ 2 }{ \sqrt{11} } } u}{} gleich $-1$ ist
\zusatzklammer {d.h. dass \mathlk{{ \frac{ 2 }{ \sqrt{11} } } u}{} in $K$ die Rolle von ${ \mathrm i}$ spielt} {} {.}
Das definierende Polynom zu $L$ schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y^2 +4Y+7
}
{ =} { { \left( Y+ 2 \right) }^2 +7 - 4
}
{ =} { { \left( Y+ 2 \right) }^2 + 3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ y+ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt also die Eigenschaft, dass sein Quadrat gleich $- 3$ ist, und dies bedeutet, dass das Quadrat von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt{3} } } v}{} gleich $-1$ ist.
Mit dem Ansatz, dass sich die beiden Elemente, deren Quadrat gleich $-1$ ist, entsprechen sollten, gelangt man
zur Korrespondenz
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x
}
{ =} { u - { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ \sim} { { \frac{ \sqrt{11} }{ 2 } } { \mathrm i} - { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ \sim} { { \frac{ \sqrt{11} }{ 2 } } { \frac{ 1 }{ \sqrt{3} } } v - { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{11} }{ 2 \sqrt{3} } } { \left( y + 2 \right) } - { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ \sqrt{11} }{ 2 \sqrt{3} } } y + { \frac{ \sqrt{11} }{ \sqrt{3} } } - { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{11} }{ 2 \sqrt{3} } } y + { \frac{ 2 \sqrt{11} - 3 \sqrt{3} }{ 2 \sqrt{3} } }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Deshalb gehen wir vom Einsetzungshomomorphismus
\maabbeledisp {\varphi} { \R[X] } { \R[Y]/ { \left( Y^2 +4Y +7 \right) }
} { X} { { \frac{ \sqrt{11} }{ 2 \sqrt{3} } } y + { \frac{ 2 \sqrt{11} - 3 \sqrt{3} }{ 2 \sqrt{3} } }
} {,}
aus. Dieser ist surjektiv, da $y$ getroffen wird. Der Kern muss aufgrund der bisherigen Überlegungen gleich ${ \left( X^2 +3X+5 \right) }$ sein. Dies kann man auch direkt aus
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \varphi { \left( X^2 +3X+5 \right) }
}
{ =} { \left( \frac{ \sqrt{11} y + 2 \sqrt{11} -3 \sqrt{3} }{ 2 \sqrt{3} } \right)^2 +3 { \left( { \frac{ \sqrt{11} y + 2 \sqrt{11} -3 \sqrt{3} }{ 2 \sqrt{3} } } \right) } + 5
}
{ =} { { \frac{ 11y^2 + { \left( 44 - 6 \sqrt{33} \right) } y + { \left( 2 \sqrt{11} - 3 \sqrt{3} \right) }^2 + 6 \sqrt{33} y + 12 \sqrt{33} -54 + 60 }{ 12 } }
}
{ =} { { \frac{ 11y^2 + 44 y + 44 + 27 - 12 \sqrt{33} +12 \sqrt{33} + 6 }{ 12 } }
}
{ =} { { \frac{ 11y^2 + 44 y + 77 }{ 12 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 11 }{ 12 } } { \left( y^2 +4y+7 \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
ablesen und daraus, dass dies ein irreduzibles Polynom ist. Der Isomorphissatz ergibt die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { \R[X] / { \left( X^2+3X+5 \right) }
}
{ \cong} { \R[Y] / { \left( Y^2+4Y+7 \right) }
}
{ =} { L
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es seien $R$ und
\mathl{S_1 , \ldots , S_n}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und es seien
\maabb {\varphi_i} { R } { S_i
} {}
\definitionsverweis {surjektive}{}{}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi = \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} { R } { S_1 \times \cdots \times S_n
} {}
der zugehörige Ringhomomorphismus in den
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { S_1 \times \cdots \times S_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass die Elemente der Form
\mathl{(1,0 , \ldots , 0) ,(0,1,0 , \ldots , 0) , \ldots , (0 , \ldots , 0,1)}{} zum Bild von $\varphi$ gehören. Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist.
}
{
Die aufgelisteten Elemente seien mit
\mathl{e_1 , \ldots , e_n}{} bezeichnet, es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_1 , \ldots , g_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(g_i)
}
{ =} { e_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_j (g_i)
}
{ =} { \begin{cases} 1 \text{ für } i = j \, , \\ 0 \text{ sonst} \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Ein beliebiges Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Produktring kann man als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ (s_1 , \ldots , s_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_i
}
{ \in }{ S_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Aufgrund der Surjektivität der einzelen Ringhomomorphismen gibt es Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_i
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_i(f_i)
}
{ =} { s_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass
\mathl{f_1g_1 + \cdots + f_ng_n}{} unter $\varphi$ auf $s$ abbildet. Dies stimmt, da wir in der $j$-ten Komponente
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \varphi { \left( f_1g_1 + \cdots + f_ng_n \right) } \right) }_j
}
{ =} { \varphi_j { \left( f_1g_1 + \cdots + f_ng_n \right) }
}
{ =} { \varphi_j { \left( f_1 \right) } \varphi_j { \left( g_1 \right) } + \cdots + \varphi_j { \left( f_n \right) } \varphi_j { \left( g_n \right) }
}
{ =} { \varphi_i (f_i)
}
{ =} { s_i
}
}
{}
{}{}
haben.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
des
\definitionsverweis {kommutativen Monoids}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \N \times \Z/( n )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $n$
\definitionsverweis {irreduziblen Komponenten}{}{}
besteht, die alle isomorph zur affinen Geraden
\mathl{{\mathbb A}^{1}_{ {\mathbb C} }}{} sind.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{{\mathbb C}[M]
}
{ =} { {\mathbb C}[S,T] /(S^n-1)
}
{ =} { {\mathbb C}[T] [S]/(S^n-1)
}
{ =} { {\mathbb C}[T] [S]/(\prod_\eta (S-\zeta) )
}
{ =} { {\mathbb C} [S]/(\prod_\eta (S-\zeta) ) [T]
}
}
{}
{}{,}
wobei $\zeta$ die $n$ komplexen Einheitswurzeln durchläuft. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} [S]/(\prod_\eta (S-\zeta) )
}
{ \cong} { {\mathbb C}^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Abbildung durch
\mathl{S \mapsto (\zeta_0, \zeta_1 , \ldots , \zeta_{n-1})}{} gegeben ist. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} [S]/(\prod_\eta (S-\zeta) ) [T]
}
{ \cong} { {\mathbb C}^n [T]
}
{ =} { ( {\mathbb C}[T])^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
aus $n$ Polynomringen ${\mathbb C}[T]$. Daher besteht das
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
dieses Ringes nach
Lemma 13.12 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026))
aus der $n$-fachen disjunkten Vereinigung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[T] \right) }
}
{ =} { {\mathbb A}^{1}_{{\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die affine Gerade ist irreduzibel.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Beweise den Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.
}
{
Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \prod_{i \in I_1 } X_i^{r_i } \right) }
}
{ =} { \prod_{i \in I_1 } { \left( t^{e_i } \right) }^{r_i }
}
{ =} { t^{\sum_{i \in I_1 } r_ie_i }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Für die Umkehrung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (F)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { \sum_\nu a_\nu X^{\nu}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \nu
}
{ = }{ (\nu_1 , \ldots , \nu_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}} {} {.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(F)
}
{ =} { \sum_\nu a_\nu t^{\sum_{i=1}^n \nu_ie_i }
}
{ =} { \sum_{k=0} { \left( \sum_{ \nu : \, \sum_{i = 1}^n \nu_i e_i = k } a_\nu \right) }t^k
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Da dieses Polynom gleich $0$ ist müssen alle Koeffizienten $0$ sein, d.h. zu jedem $k$ gehört auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_k
}
{ =} { \sum_{ \nu : \, \sum_{i = 1}^n \nu_i e_i = k } a_\nu X^\nu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zum Kern. Wir können also annehmen, dass in $F$ nur Monome $X^\nu$ mit dem gleichen Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n \nu_ie_i
}
{ = }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus $F$, sagen wir $X^\nu$
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a_\nu
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Es muss in $F$ mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir $X^\mu$, vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf $0$ abgebildet wird. Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { a_\nu (X^\nu -X^\mu) + { \left( F- a_\nu X^\nu + a_\nu X^\mu \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Summand rechts kommt $X^\nu$ nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In
\mathl{X^\nu-X^\mu}{} können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^\nu-X^\mu
}
{ =} { X_1^{b_1 } \cdots X_n^{b_n } { \left( \prod_{i \in I_1 } X_i^{r_i }- \prod_{i \in I_2 } X_i^{s_i } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit disjunkten $I_1$ und $I_2$ und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i \in I_1 }e_ir_i
}
{ = }{ \sum_{i \in I_2 }e_is_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von $F$ gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.
}
{
Wir zeigen zunächst, dass es eine Potenzreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ {\sum }_{ i =0 }^{ \infty } a _{ i } T ^{ i }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(G)
}
{ = }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Dabei muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1
}
{ = }{b_1^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Es sei nun die Potenreihe $F$ mit der gewünschten Eigenschaft bis zum
\mathl{(k-1)}{-}Koeffizienten bereits konstruiert. Für den Koeffizienten $c_k$ hat man nach der
Definition .
die Bedingung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0
}
{ =} { c_k
}
{ =} { \sum_{s = 0}^k a_s { \left( \sum_{j_1 + \cdots + j_s = k } b_{j_1 } \cdots b_{j_s} \right) }
}
{ =} {\sum_{s = 0}^{k-1} a_s { \left( \sum_{j_1 + \cdots + j_s = k } b_{j_1 } \cdots b_{j_s} \right) } + a_k b_1^k
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an $a_k$.
Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {K [ \![ T]\! ] \stackrel{T \mapsto F}{\longrightarrow} K [ \![ T]\! ] \stackrel{T \mapsto G}{\longrightarrow }K [ \![ T]\! ]} { . }
Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus
\mathl{T \mapsto T}{,} und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da $K [ \![ T]\! ]$ nach
Korollar 24.7 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026))
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Y^3Z+Z^4 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(x,y,z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt der Kurve. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so muss auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Da dies keinem Punkt der Kurve entspricht, folgt, dass die Kurve von
\mathkor {} {D_+(X)} {und} {D_+(Y)} {}
überdeckt wird. Daher können wir mit den inhomogenen Kurvengleichungen in diesen beiden affinen offenen Mengen arbeiten.
$D_+(X)$. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und erhalten die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1+Y^3Z+Z^4
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die partiellen Ableitungen sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial { \left( 1+Y^3Z+Z^4 \right) } }{ \partial Y } } = 3Y^2Z \text{ und } { \frac{ \partial { \left( 1+Y^3Z+Z^4 \right) } }{ \partial Z } } = Y^3 +4Z^3} { . }
Wir müssen schauen, ob es Punkte auf der Kurve gibt, wo diese beiden Ableitungen verschwinden. Diese beiden Gleichungen sind nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ Z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
simultan erfüllbar, doch das ist kein Punkt der Kurve.
$D_+(Y)$. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und erhalten die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^4+Z+Z^4
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die partiellen Ableitungen sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial { \left( X^4+Z+Z^4 \right) } }{ \partial X } } = 4X^3 \text{ und } { \frac{ \partial { \left( X^4+Z+Z^4 \right) } }{ \partial Z } } = 1 + 4Z^3} { . }
Da wir die Punkte mit $X$-Koordinate $\neq 0$ schon abgehandelt haben, können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Dann hat man die Kurvenbedingung und die zweite Ableitungsbedingung, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z+Z^4
}
{ = }{ 0
}
{ = }{ 1 + 4Z^3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 3Z^4
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was aber keine Lösung ist. Die Kurve ist also auch in diesen Punkten glatt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die Schnittpunkte der Fermatkubik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^3+Y^3+Z^3 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Geraden
\mathl{V_+ { \left( X+2Y+Z \right) }}{.}
}
{
Wir ersetzen in $X^3+Y^3+Z^3$ die Variable $X$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{-2Y-Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und erhalten die Gleichung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ - { \left( 2Y+Z \right) }^3+Y^3+Z^3
}
{ =} { - { \left( 8Y^3 + 12Y^2Z+6YZ^2 +Z^3 \right) } +Y^3+Z^3
}
{ =} { -7Y^3- 12Y^2Z -6YZ^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
führt auf den Punkt
\mathl{\left( 1 , \, 0 , \, -1 \right)}{.} Die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7Y^2+ 12YZ +6Z^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. die dehomogenisierte Version
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{Y
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7 + 12 Z +6Z^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z^2+2Z+ { \frac{ 7 }{ 6 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z_{2,3}
}
{ =} { { \frac{ -2 \pm \sqrt{ 4-4 \cdot { \frac{ 7 }{ 6 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { -1 \pm \sqrt{ 1-1 \cdot { \frac{ 7 }{ 6 } } }
}
{ =} {-1 \pm \sqrt{ -1 { \frac{ 1 }{ 6 } } }
}
{ =} { -1 \pm \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i}
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X_2
}
{ =} { -2Y_2-Z_2
}
{ =} { -2 +1 -\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i}
}
{ =} { -1 -\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X_3
}
{ =} { -2Y_3-Z_3
}
{ =} { -2 +1 +\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i}
}
{ =} { -1 +\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die drei Schnittpunkte sind also
\mathdisp {(1,0,-1), \, \left( -1 -\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} , \, 1 , \, -1 + \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} \right) \text{ und }\left( -1 +\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} , \, 1 , \, -1 - \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} \right)} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichung für die Urbildgerade zur
\definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{2}_{ K } \setminus \{ (1,0,0) \} } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {(x,y,z)} { (y,z)
} {.}
}
{
Alle Punkte
\mathl{(x,a,b)}{} werden unter der Projektion auf den Punkt
\mathl{(a,b)}{} abgebildet. Daher ist
\mathl{bY-aZ}{} eine Gleichung der Urbildgerade.
}