Kurs:Algebraische Kurven/14/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 0 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 5 }

\renewcommand{\aacht}{ 0 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 7 }

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\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 49 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Nullstellenmenge} {} zu einer Menge an Polynomen im Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}

}{Ein \stichwortpraemath {R} {Modul}{} $M$ über einem kommutativen Ring $R$.

}{Der \stichwort {Koordinatenring} {} zu einer \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Ein \stichwort {glatter} {} Punkt $P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{V(F) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Ein \stichwort {diskreter Bewertungsring} {.}

}{Der \stichwort {projektive Raum} {}
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Man nennt
\mathdisp {{ \left\{ P \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \mid F_j(P) = 0 \text { für alle } j \in J \right\} }} { }
das durch die Familie definierte Nullstellengebilde. }{Man nennt $M$ einen \stichwortpraemath {R} {Modul}{,} wenn eine Operation \maabbeledisp {} {R \times M } { M } {(r,v)} { rv = r\cdot v } {,} festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt \zusatzklammer {dabei seien \mathlk{r,s \in R}{} und \mathlk{u,v \in M}{} beliebig} {} {:} \aufzaehlungvier{
\mathl{r(su) = (rs) u}{,} }{
\mathl{r(u+v) = (ru) + (rv)}{,} }{
\mathl{(r+s)u = (ru)+ (su)}{,} }{
\mathl{1u = u}{.} } }{Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {Verschwindungsideal}{}{}
\mathl{\operatorname{Id} \, (V)}{} nennt man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R(V) }
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]/\operatorname{Id} \, (V) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den \stichwort {Koordinatenring} {} von $V$. }{Der Punkt $P$ heißt glatt, wenn
\mathdisp {\frac{\partial F}{\partial X} (P) \neq 0 \text{ oder } \frac{\partial F}{\partial Y} (P) \neq 0} { }
gilt. }{Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} mit der Eigenschaft, dass es bis auf \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} genau ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} in $R$ gibt. }{Der projektive Raum
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{} besteht aus allen Geraden des
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } }}{} durch den Nullpunkt. }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den globalen Schnittring zu
\mathl{D(f)}{.}}{Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.}{Der Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{,} $R$ eine \definitionsverweis {reduzierte}{}{} $K$- \definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{} und sei
\mathl{V=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} das $K$- \definitionsverweis {Spektrum}{}{} von $R$. Es sei
\mathl{F \in R}{} mit zugehöriger offener Menge
\mathl{D(F) \subseteq V}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (D(F), {\mathcal O} ) }
{ =} { R_F }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein durch teilerfremde Elemente
\mathl{e_1, \ldots, e_n}{} erzeugtes Untermonoid und sei \maabb {} {\N^n } { M} {} die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus \maabb {\varphi} {K[X_1 , \ldots , X_n]} {K[M] } {.} Dann wird das Kernideal durch
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{\ker \varphi }
{ =} { { \left( \prod_{i \in I_1} X_i^{r_i} - \prod_{i \in I_2} X_i^{s_i} :\, I_1, I_2 \subseteq \{1, \ldots ,n\} \text{ disjunkt }, \sum_{i \in I_1} r_ie_i = \sum_{i \in I_2} s_ie_i \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}}{Es sei $K$ ein Körper,
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der Potenzreihenring über $K$ und
\mathl{G ={\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j }}{} mit \mathkon { b_0 =0 } { und } { b_1 \neq 0 }{ .} Dann definiert der durch
\mathl{T \mapsto G}{} definierte Einsetzungshomomorpismus einen $K$-Algebraautomorphismus auf
\mathl{K[ \![T]\! ]}{.}}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{

}
{/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ das \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,Y)}{} kein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist.

}
{

Nehmen wir an, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X,Y) }
{ =} {(F) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem Polynom $F \in K[X,Y]$ ist. Dann ist insbesondere \mathkor {} {X =GF} {und} {Y= HF} {.} Betrachtet man die erste Gleichung als Gleichung in
\mathl{(K[Y])[X]}{,} so ergibt sich, dass $F$ zu $X$ assoziiert oder eine Einheit ist. Unter Berücksichtigung der zweiten Gleichung folgt, dass $F$ eine Einheit sein muss. In diesem Fall ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X,Y) }
{ \subset} {(F) = K[X,Y] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da keine Linearkombination von \mathkor {} {X} {und} {Y} {} gleich $1$ ist.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ in $n$ Variablen und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} der Polynomring in
\mathl{n+1}{} Variablen. Zeige, dass die \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} \zusatzklammer {bezüglich $Z$} {} {} mit der Multiplikation verträglich ist.

}
{

Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} {F_d + F_{d-1} + \cdots + F_1 + F_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} {G_e + G_{e-1} + \cdots + G_1 + G_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Polynome vom Grad \mathkor {} {d} {bzw.} {e} {} in ihrer homogenen Zerlegung. Ihre Homogenisierungen sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{F} }
{ =} { F_d + F_{d-1} Z + \cdots + F_1 Z^{d-1} + F_0 Z^d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{G} }
{ =} { G_e+ G_{e-1} Z + \cdots + G_1 Z^{e-1} + G_0 Z^e }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das Produkt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{F} \tilde{G} }
{ =} { \sum_{k = 0}^{d+e} P_k Z^{d+e-k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_k }
{ =} { \sum_{i = 0}^{d} F_i G_{k-i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Andererseits ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ FG }
{ =} { \sum_{k = 0}^{d+e} H_k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit den homogenen Komponenten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H_k }
{ =} { \sum_{ i = 0}^d F_iG_{k-i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die Homogenisierung davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^{d+e} H_k Z^{d+e-k} }
{ =} {\sum_{k = 0}^{d+e} { \left( \sum_{ i = 0}^d F_iG_{k-i} \right) } Z^{d+e-k} }
{ =} {\sum_{k = 0}^{d+e} P_k Z^{d+e-k} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} was mit der ersten Berechnung übereinstimmt.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4 (3+1)}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \{P_1 , \ldots , P_n \} }
{ \subseteq }{ K^2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen \definitionsverweis {Körper}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei \definitionsverweis {algebraischen Kurven}{}{} erhalten kann. } {Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei \definitionsverweis {irreduziblen}{}{} algebraischen Kurven erhalten kann. }

}
{

\aufzaehlungzwei {Man findet eine \zusatzklammer {hinreichend generische} {} {} Linearform, die für die Punkte unterschiedliche Werte ergibt. Man kann also annehmen, dass Koordinaten derart vorliegen, dass in den Punkten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_i }
{ =} { (a_i,b_i) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die ersten Koordinaten verschieden sind. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { (X-a_1) \cdots (X-a_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir wählen ein Polynom $H$ in der einen Variablen $X$ gemäß dem Interpolationssatz mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H(a_i) }
{ =} { b_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{ 1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ = }{Y-H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { V(F) \cap V(G) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erhält man $M$ als Durchschnitt von zwei Kurven. } {Wir ersetzen $F$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F' }
{ = }{ Y-H+F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(G) \cap V(F') }
{ =} { V(G) \cap V(F) }
{ =} { M }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die beiden Kurven sind Graphen, also irreduzibel. }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{f \in R}{} sei nicht \definitionsverweis {nilpotent}{}{.} Zeige, dass es ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ mit
\mathl{f \notin {\mathfrak p}}{} gibt.

}
{

Wir betrachten die Menge der Ideale
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ {\mathfrak a} \text{ Ideal } \mid f^r \not\in {\mathfrak a} \text{ für alle } r \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enthält. Ferner ist sie induktiv geordnet \zusatzklammer {bezüglich der Inklusion} {} {.} Ist nämlich
\mathbed {{\mathfrak a}_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine total geordnete Teilmenge von $M$, so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von $f$ enthält. Nach dem Lemma von Zorn gibt es daher maximale Elemente in $M$.

Wir behaupten, dass ein solches maximales Element $\mathfrak p$ ein Primideal ist. Es sei dazu
\mathl{g,h \in R}{} und
\mathl{gh \in {\mathfrak p}}{,} und sei
\mathl{g,h \not\in {\mathfrak p}}{} angenommen. Dann hat man echte Inklusionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ \subseteq} { {\mathfrak p} +(g) , {\mathfrak p} +(h) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen der Maximalität können die beiden Ideale rechts nicht zu $M$ gehören, und das bedeutet, dass es Exponenten
\mathl{r,s \in \N}{} gibt mit
\mathdisp {f^r \in {\mathfrak p} +(g) \text{ und } f^s \in {\mathfrak p} +(h)} { . }
Dann ergibt sich der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^rf^s }
{ \in} { {\mathfrak p} + (gh) }
{ \subseteq} { {\mathfrak p} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{

}
{/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass das ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} des \definitionsverweis {kommutativen Monoids}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \N \times \Z/(n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus $n$ \definitionsverweis {irreduziblen Komponenten}{}{} besteht, die alle isomorph zur affinen Geraden
\mathl{{\mathbb A}^{1}_{{\mathbb C}}}{} sind.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{{\mathbb C}[M] }
{ =} { {\mathbb C}[S,T] /(S^n-1) }
{ =} { {\mathbb C}[T] [S]/(S^n-1) }
{ =} { {\mathbb C}[T] [S]/(\prod_\eta (S-\zeta) ) }
{ =} { {\mathbb C} [S]/(\prod_\eta (S-\zeta) ) [T] }
} {} {}{,} wobei $\zeta$ die $n$ komplexen Einheitswurzeln durchläuft. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} [S]/(\prod_\eta (S-\zeta) ) }
{ \cong} { {\mathbb C}^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die Abbildung durch
\mathl{S \mapsto (\zeta_0, \zeta_1 , \ldots , \zeta_{n-1})}{} gegeben ist. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} [S]/(\prod_\eta (S-\zeta) ) [T] }
{ \cong} { {\mathbb C}^n [T] }
{ =} { ( {\mathbb C}[T])^n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Produktring}{}{} aus $n$ Polynomringen ${\mathbb C}[T]$. Daher besteht das ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} dieses Ringes nach Lemma 13.12 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) aus der $n$-fachen disjunkten Vereinigung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[T] \right) } }
{ =} { {\mathbb A}^{1}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die affine Gerade ist irreduzibel.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{

Beweise den Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.

}
{

Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \prod_{i \in I_1} X_i^{r_i} \right) } }
{ =} { \prod_{i \in I_1} { \left( t^{e_i} \right) }^{r_i} }
{ =} { t^{\sum_{i \in I_1} r_ie_i } }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Für die Umkehrung sei
\mathl{F \in K[X_1, \ldots ,X_n]}{} ein Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (F) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} {\sum_\nu a_\nu X^{\nu} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{\nu=(\nu_1 , \ldots , \nu_n)}{}} {} {.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(F) }
{ =} { \sum_\nu a_\nu t^{\sum_{i=1}^n \nu_ie_i } }
{ =} { \sum_{k=0} { \left( \sum_{ \nu : \, \sum_{i = 1}^n \nu_i e_i = k } a_\nu \right) }t^k }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Da dieses Polynom gleich $0$ ist müssen alle Koeffizienten $0$ sein, d.h. zu jedem $k$ gehört auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_k }
{ =} { \sum_{ \nu : \, \sum_{i = 1}^n \nu_i e_i = k } a_\nu X^\nu }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zum Kern. Wir können also annehmen, dass in $F$ nur Monome $X^\nu$ mit dem gleichen Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n \nu_ie_i }
{ = }{ k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus $F$, sagen wir $X^\nu$ \zusatzklammer {mit \mathlk{a_\nu \neq 0}{}} {} {.} Es muss in $F$ mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir $X^\mu$, vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf $0$ abgebildet wird. Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { a_\nu (X^\nu -X^\mu) + { \left( F- a_\nu X^\nu + a_\nu X^\mu \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Im Summand rechts kommt $X^\nu$ nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In
\mathl{X^\nu-X^\mu}{} können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^\nu-X^\mu }
{ =} {X_1^{b_1} \cdots X_n^{b_n} { \left( \prod_{i \in I_1} X_i^{r_i}- \prod_{i \in I_2} X_i^{s_i} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit disjunkten $I_1$ und $I_2$ und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i \in I_1}e_ir_i }
{ = }{ \sum_{i \in I_2}e_is_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von $F$ gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{

}
{/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{

}
{/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{

}
{/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{

Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.

}
{

Wir zeigen zunächst, dass es eine Potenzreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{ {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } T ^{ i } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(G) }
{ = }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Dabei muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1 }
{ = }{b_1^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein. Es sei nun die Potenreihe $F$ mit der gewünschten Eigenschaft bis zum
\mathl{(k-1)}{-}Koeffizienten bereits konstruiert. Für den Koeffizienten $c_k$ hat man nach der Definition . die Bedingung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0 }
{ =} {c_k }
{ =} { \sum_{s = 0}^k a_s { \left( \sum_{j_1 + \cdots + j_s = k } b_{j_1} \cdots b_{j_s} \right) } }
{ =} {\sum_{s = 0}^{k-1} a_s { \left( \sum_{j_1 + \cdots + j_s = k } b_{j_1} \cdots b_{j_s} \right) } + a_k b_1^k }
{ } { }
} {} {}{.} Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an $a_k$.

Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {K[ \![T]\! ] \stackrel{T \mapsto F}{\longrightarrow} K[ \![T]\! ] \stackrel{T \mapsto G}{\longrightarrow }K[ \![T]\! ]} { . }
Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus
\mathl{T \mapsto T}{,} und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da $K[ \![T]\! ]$ nach Korollar 24.7 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{,} sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Y^3Z+Z^4 \right) } }
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {glatt}{}{} ist.

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(x,y,z) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt der Kurve. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{y }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so muss auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein. Da dies keinem Punkt der Kurve entspricht, folgt, dass die Kurve von \mathkor {} {D_+(X)} {und} {D_+(Y)} {} überdeckt wird. Daher können wir mit den inhomogenen Kurvengleichungen in diesen beiden affinen offenen Mengen arbeiten.

$D_+(X)$. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und erhalten die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1+Y^3Z+Z^4 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die partiellen Ableitungen sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial { \left( 1+Y^3Z+Z^4 \right) } }{ \partial Y } } = 3Y^2Z \text{ und } { \frac{ \partial { \left( 1+Y^3Z+Z^4 \right) } }{ \partial Z } } = Y^3 +4Z^3} { . }
Wir müssen schauen, ob es Punkte auf der Kurve gibt, wo diese beiden Ableitungen verschwinden. Diese beiden Gleichungen sind nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{Z }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} simultan erfüllbar, doch das ist kein Punkt der Kurve.

$D_+(Y)$. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und erhalten die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^4+Z+Z^4 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die partiellen Ableitungen sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial { \left( X^4+Z+Z^4 \right) } }{ \partial X } } = 4X^3 \text{ und } { \frac{ \partial { \left( X^4+Z+Z^4 \right) } }{ \partial Z } } = 1 + 4Z^3} { . }
Da wir die Punkte mit $X$-Koordinate $\neq 0$ schon abgehandelt haben, können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} annehmen. Dann hat man die Kurvenbedingung und die zweite Ableitungsbedingung, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z+Z^4 }
{ = }{0 }
{ = }{1 + 4Z^3 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daraus folgt aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 3Z^4 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was aber keine Lösung ist. Die Kurve ist also auch in diesen Punkten glatt.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Bestimme die Schnittpunkte der Fermatkubik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^3+Y^3+Z^3 \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Geraden
\mathl{V_+ { \left( X+2Y+Z \right) }}{.}

}
{

Wir ersetzen in $X^3+Y^3+Z^3$ die Variable $X$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{-2Y-Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und erhalten die Gleichung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ - { \left( 2Y+Z \right) }^3+Y^3+Z^3 }
{ =} { - { \left( 8Y^3 + 12Y^2Z+6YZ^2 +Z^3 \right) } +Y^3+Z^3 }
{ =} { -7Y^3- 12Y^2Z -6YZ^2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
} {} {}{.} Die Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} führt auf den Punkt
\mathl{\left( 1 , \, 0 , \, -1 \right)}{.} Die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7Y^2+ 12YZ +6Z^2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw. die dehomogenisierte Version \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{Y }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7 + 12 Z +6Z^2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z^2+2Z+ { \frac{ 7 }{ 6 } } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z_{2,3} }
{ =} { { \frac{ -2 \pm \sqrt{ 4-4 \cdot { \frac{ 7 }{ 6 } } } }{ 2 } } }
{ =} { -1 \pm \sqrt{ 1-1 \cdot { \frac{ 7 }{ 6 } } } }
{ =} {-1 \pm \sqrt{ -1 { \frac{ 1 }{ 6 } } } }
{ =} { -1 \pm \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X_2 }
{ =} { -2Y_2-Z_2 }
{ =} { -2 +1 -\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} }
{ =} { -1 -\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X_3 }
{ =} { -2Y_3-Z_3 }
{ =} { -2 +1 +\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} }
{ =} { -1 +\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} }
{ } { }
} {}{}{.} Die drei Schnittpunkte sind also
\mathdisp {(1,0,-1), \, \left( -1 -\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} , \, 1 , \, -1 + \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} \right) \text{ und }\left( -1 +\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} , \, 1 , \, -1 - \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } { \mathrm i} \right)} { . }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Bestimme zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b) }
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichung für die Urbildgerade zur \definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{ (1,0,0) \} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {(x,y,z)} { (y,z) } {.}

}
{

Alle Punkte
\mathl{(x,a,b)}{} werden unter der Projektion auf den Punkt
\mathl{(a,b)}{} abgebildet. Daher ist
\mathl{bY-aZ}{} eine Gleichung der Urbildgerade.


}