Lösung
- Man nennt
-
das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.
- Man nennt
einen
-Modul,
wenn eine Operation
-
festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt
(dabei seien
und
beliebig):
,
,
,
.
- Zu
mit
Verschwindungsideal
nennt man
den Koordinatenring von
.
- Der Punkt
heißt glatt, wenn
-
gilt.
- Ein diskreter Bewertungsring
ist ein
Hauptidealbereich
mit der Eigenschaft, dass es bis auf
Assoziiertheit
genau ein
Primelement
in
gibt.
- Der projektive Raum
besteht aus allen Geraden des
durch den Nullpunkt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über den globalen Schnittring zu
.
- Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.
- Der Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.
Lösung
- Es sei
ein
algebraisch abgeschlossener Körper,
eine
reduzierte
-
Algebra von endlichem Typ
und sei
das
- Spektrum
von
. Es sei
mit zugehöriger offener Menge
. Dann ist
-

- Es sei
ein durch teilerfremde Elemente
erzeugtes Untermonoid und sei
die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
.
Dann wird das Kernideal durch
-

- Es sei
ein Körper,
der Potenzreihenring über
und
mit
und
. Dann definiert der durch
definierte Einsetzungshomomorpismus einen
-Algebraautomorphismus auf
.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Nehmen wir an, dass
-

mit einem Polynom
ist. Dann ist insbesondere
und
.
Betrachtet man die erste Gleichung als Gleichung in
, so ergibt sich, dass
zu
assoziiert oder eine Einheit ist. Unter Berücksichtigung der zweiten Gleichung folgt, dass
eine Einheit sein muss. In diesem Fall ist aber
-
![{\displaystyle {}(X,Y)\subset (F)=K[X,Y]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bb0fe53c89e734ed296502eda609c63839d2ff)
da keine Linearkombination von
und
gleich
ist.
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
-

für den Körper
.
Lösung Ebene algebraische Kurven/Kreisgleichung/Punkte über endlichen Körpern/K ist F 11/Aufgabe/Lösung
Es sei
ein
Körper
und
der
Polynomring
über
in
Variablen und
der Polynomring in
Variablen. Zeige, dass die
Homogenisierung
(bezüglich
)
mit der Multiplikation verträglich ist.
Lösung
Es seien
-

und
-

Polynome vom Grad
bzw.
in ihrer homogenen Zerlegung. Ihre Homogenisierungen sind
-

bzw.
-

Das Produkt ist
-

mit
-

Andererseits ist
-

mit den homogenen Komponenten
-

und die Homogenisierung davon ist
-

was mit der ersten Berechnung übereinstimmt.
Es sei
eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen
Körper.
a) Zeige, dass man
als Durchschnitt von zwei
algebraischen Kurven
erhalten kann.
b) Zeige, dass man
als Durchschnitt von zwei
irreduziblen
algebraischen Kurven erhalten kann.
Lösung
- Man findet eine
(hinreichend generische)
Linearform, die für die Punkte unterschiedliche Werte ergibt. Man kann also annehmen, dass Koordinaten derart vorliegen, dass in den Punkten
-

die ersten Koordinaten verschieden sind. Es sei
-

Wir wählen ein Polynom
in der einen Variablen
gemäß
dem Interpolationssatz
mit
-

für
.
Mit
ist
-

erhält man
als Durchschnitt von zwei Kurven.
- Wir ersetzen
durch
.
Es ist
-

und die beiden Kurven sind Graphen, also irreduzibel.
Lösung
Wir betrachten die Menge der Ideale
-

Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enthält. Ferner ist sie induktiv geordnet
(bezüglich der Inklusion).
Ist nämlich
,
,
eine total geordnete Teilmenge von
, so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von
enthält.
Nach dem Lemma von Zorn
gibt es daher maximale Elemente in
.
Wir behaupten, dass ein solches maximales Element
ein Primideal ist. Es sei dazu
und
,
und sei
angenommen. Dann hat man echte Inklusionen
-

Wegen der Maximalität können die beiden Ideale rechts nicht zu
gehören, und das bedeutet, dass es Exponenten
mit
-
gibt. Dann ergibt sich der Widerspruch
-

Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\mathbb {C} }[M]&={\mathbb {C} }[S,T]/(S^{n}-1)\\&={\mathbb {C} }[T][S]/(S^{n}-1)\\&={\mathbb {C} }[T][S]/(\prod _{\eta }(S-\zeta ))\\&={\mathbb {C} }[S]/(\prod _{\eta }(S-\zeta ))[T],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd51bca1e7e1fefeedf623ed5e74b9bb8030c1a)
wobei
die
komplexen Einheitswurzeln durchläuft. Es ist
-
![{\displaystyle {}{\mathbb {C} }[S]/(\prod _{\eta }(S-\zeta ))\cong {\mathbb {C} }^{n}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40badf905b0b0c68d587a1fc641ba38993e19fa3)
wobei die Abbildung durch
gegeben ist. Daher ist
-
![{\displaystyle {}{\mathbb {C} }[S]/(\prod _{\eta }(S-\zeta ))[T]\cong {\mathbb {C} }^{n}[T]=({\mathbb {C} }[T])^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8094d78069371852115dbff4b7e6700efa99f010)
ein
Produktring
aus
Polynomringen
. Daher besteht das
-
Spektrum
dieses Ringes nach
Lemma 13.12 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
aus der
-fachen disjunkten Vereinigung von
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[T]\right)}={\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36e183bd363a294ace4c2d02f6541e1158b4b1f)
Die affine Gerade ist irreduzibel.
Beweise den Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.
Lösung
Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus
-

Für die Umkehrung sei
ein Polynom mit
.
Wir schreiben
-

(mit
).
Daher ist
-

Da dieses Polynom gleich
ist müssen alle Koeffizienten
sein, d.h. zu jedem
gehört auch
-

zum Kern. Wir können also annehmen, dass in
nur Monome
mit dem gleichen Wert
vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus
, sagen wir
(mit
).
Es muss in
mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir
, vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf
abgebildet wird. Wir schreiben
-

Im Summand rechts kommt
nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In
können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form
-

mit disjunkten
und
und mit
ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von
gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.
Lösung
Zeige, dass die
ebene projektive Kurve
-

glatt
ist.
Lösung
Sei
ein Punkt der Kurve. Wenn
ist, so muss auch
sein. Da dies keinem Punkt der Kurve entspricht, folgt, dass die Kurve von
und
überdeckt wird. Daher können wir mit den inhomogenen Kurvengleichungen in diesen beiden affinen offenen Mengen arbeiten.
. Wir setzen
und erhalten die Gleichung
.
Die partiellen Ableitungen sind
-
Wir müssen schauen, ob es Punkte auf der Kurve gibt, wo diese beiden Ableitungen verschwinden. Diese beiden Gleichungen sind nur bei
simultan erfüllbar, doch das ist kein Punkt der Kurve.
. Wir setzen
und erhalten die Gleichung
.
Die partiellen Ableitungen sind
-
Da wir die Punkte mit
-Koordinate
schon abgehandelt haben, können wir
annehmen. Dann hat man die Kurvenbedingung und die zweite Ableitungsbedingung, also
.
Daraus folgt aber
und somit
,
was aber keine Lösung ist. Die Kurve ist also auch in diesen Punkten glatt.
Bestimme die Schnittpunkte der Fermatkubik
-

mit der Geraden
.
Lösung
Wir ersetzen in
die Variable
durch
und erhalten die Gleichung

Die Lösung
führt auf den Punkt
. Die Gleichung
-

bzw. die dehomogenisierte Version
(
)
-

bzw.
-

führt auf
-

Somit ist
-

und
-

Die drei Schnittpunkte sind also
-
Bestimme zu einem Punkt
die Gleichung für die Urbildgerade zur
Projektion weg von einem Punkt
-
Lösung