Kurs:Algebraische Kurven/14/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 0 3 4 0 5 0 4 7 0 0 0 7 4 1 0 41




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring .
  2. Ein -Modul über einem kommutativen Ring .
  3. Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge .
  4. Ein glatter Punkt auf einer ebenen algebraischen Kurve .
  5. Ein diskreter Bewertungsring.
  6. Der projektive Raum .


Lösung

  1. Man nennt

    das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.

  2. Man nennt einen -Modul, wenn eine Operation

    festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):

    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. .
  3. Zu mit Verschwindungsideal nennt man den Koordinatenring von .
  4. Der Punkt heißt glatt, wenn

    gilt.

  5. Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.
  6. Der projektive Raum besteht aus allen Geraden des durch den Nullpunkt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den globalen Schnittring zu .
  2. Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.
  3. Der Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.


Lösung

  1. Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine reduzierte - Algebra von endlichem Typ und sei das - Spektrum von . Es sei mit zugehöriger offener Menge . Dann ist
  2. Sei ein durch teilerfremde Elemente erzeugtes Untermonoid und sei die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus . Dann wird das Kernideal durch
  3. Sei ein Körper, der Potenzreihenring über und mit und . Dann definiert der durch definierte Einsetzungshomomorpismus einen -Algebraautomorphismus auf .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass im Polynomring über einem Körper das Ideal kein Hauptideal ist.


Lösung

Nehmen wir an, dass

mit einem Polynom ist. Dann ist insbesondere und . Betrachtet man die erste Gleichung als Gleichung in , so ergibt sich, dass zu assoziiert oder eine Einheit ist. Unter Berücksichtigung der zweiten Gleichung folgt, dass eine Einheit sein muss. In diesem Fall ist aber

da keine Linearkombination von und gleich ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und der Polynomring über in Variablen und der Polynomring in Variablen. Zeige, dass die Homogenisierung (bezüglich ) mit der Multiplikation verträglich ist.


Lösung

Es seien

und

Polynome vom Grad bzw. in ihrer homogenen Zerlegung. Ihre Homogenisierungen sind

bzw.

Das Produkt ist

mit

Andererseits ist

mit den homogenen Komponenten

und die Homogenisierung davon ist

was mit der ersten Berechnung übereinstimmt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal mit gibt.


Lösung

Wir betrachten die Menge der Ideale

Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enthält. Ferner ist sie induktiv geordnet (bezüglich der Inklusion). Ist nämlich , , eine total geordnete Teilmenge von , so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von enthält. Nach dem Lemma von Zorn gibt es daher maximale Elemente in .

Wir behaupten, dass ein solches maximales Element ein Primideal ist. Sei dazu und , und sei angenommen. Dann hat man echte Inklusionen

Wegen der Maximalität können die beiden Ideale rechts nicht zu gehören, und das bedeutet, dass es Exponenten gibt mit

Dann ergibt sich der Widerspruch


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Zeige, dass das -Spektrum des kommutativen Monoids aus irreduziblen Komponenten besteht, die alle isomorph zur affinen Geraden sind.


Lösung

Es ist

wobei die komplexen Einheitswurzeln durchläuft. Es ist

wobei die Abbildung durch gegeben ist. Daher ist

ein Produktring aus Polynomringen . Daher besteht das -Spektrum dieses Ringes nach Lemma 13.12 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) aus der -fachen disjunkten Vereinigung von

Die affine Gerade ist irreduzibel.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.


Lösung

Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus

Für die Umkehrung sei ein Polynom mit . Wir schreiben

(mit ). Daher ist

Da dieses Polynom gleich ist müssen alle Koeffizienten sein, d.h. zu jedem gehört auch

zum Kern. Wir können also annehmen, dass in nur Monome mit dem gleichem Wert vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus , sagen wir (mit ). Es muss in mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir , vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf abgebildet wird. Wir schreiben

Im Summand rechts kommt nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form

mit disjunkten und und mit ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.


Lösung

Wir zeigen zunächst, dass es eine Potenzreihe mit gibt. Dabei muss und sein. Sei nun die Potenreihe mit der gewünschten Eigenschaft bis zum -Koeffizienten bereits konstruiert. Für den Koeffizienten hat man nach der Definition . die Bedingung

Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an .

Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung

Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus , und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da nach Korollar 24.7 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) ein diskreter Bewertungsring, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

glatt ist.


Lösung

Sei ein Punkt der Kurve. Wenn ist, so muss auch sein. Da dies keinem Punkt der Kurve entspricht, folgt, dass die Kurve von und überdeckt wird. Daher können wir mit den inhomogenen Kurvengleichungen in diesen beiden affinen offenen Mengen arbeiten.

. Wir setzen und erhalten die Gleichung . Die partiellen Ableitungen sind

Wir müssen schauen, ob es Punkte auf der Kurve gibt, wo diese beiden Ableitungen verschwinden. Diese beiden Gleichungen sind nur bei simultan erfüllbar, doch das ist kein Punkt der Kurve.

. Wir setzen und erhalten die Gleichung . Die partiellen Ableitungen sind

Da wir die Punkte mit -Koordinate schon abgehandelt haben, können wir annehmen. Dann hat man die Kurvenbedingung und die zweite Ableitungsbedingung, also . Daraus folgt aber und somit , was aber keine Lösung ist. Die Kurve ist also auch in diesen Punkten glatt.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme zu einem Punkt die Gleichung für die Urbildgerade zur Projektion weg von einem Punkt


Lösung

Alle Punkte werden unter der Projektion auf den Punkt abgebildet. Daher ist eine Gleichung der Urbildgerade.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung