Kurs:Algebraische Kurven/6/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Der
\stichwort {Grad} {}
eines Polynoms
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}
}{Die \stichwort {affin-lineare Äquivalenz} {} von
\definitionsverweis {affin-algebraischen Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V, \tilde{V}
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der \stichwort {Koordinatenring} {} zu einer
\definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Das \stichwortpraemath {K} {Spektrum}{} zu einer kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $R$.
}{Ein \stichwort {diskreter Bewertungsring} {.}
}{Eine \stichwort {projektive ebene Kurve} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Der Satz über maximale Ideale in einer Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.}{Der Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Bestimme die Schnittpunkte der Neilschen Parabel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(Y^2 -X^3)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\aufzaehlungzwei {den Geraden durch dem Nullpunkt,
} {den zu den Achsen parallelen Geraden.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} sei. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Betrachte die beiden Kreise
\mathdisp {X^2+Y^2=1 \text{ und } 4X^2+3Y^2 =9} { . }
Zeige, dass die beiden Kreise über $\R$
\definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{}
sind, aber nicht über $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die Noethersche Normalisierung für Kurven.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Führe für die rationale Quadrik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C = V(X^2+Y^2-5)
}
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{\Q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine rationale Parametrisierung im Sinne von
Satz 7.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
mit dem Hilfspunkt
\mathl{(1,2)}{} und einer geeigneten Geraden durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in einer Variablen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Schreibe den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Q[X]/(X^4-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper $\Q$ und $\Q[ { \mathrm i} ]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von $X^3+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{}
und $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Es sei
\mathl{m \in M}{} und
\mathl{T^m \in K[M]}{.} Zeige, dass $m$ genau dann eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $M$ ist, wenn $T^m$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in
\mathl{K[M]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom
\mathdisp {V^3+U^2V-2UV+2U^2-4U-2V} { }
gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme für das numerische Monoid $M \subseteq \N$, das durch $4,7$ und $17$ erzeugt wird, die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings
\mathl{K[ \![T]\! ]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(X^3+Y^3-3XY)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht $3$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+(F)
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$ genau dann
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
\mathdisp {\left( { \frac{ \partial F }{ \partial X } } , \, { \frac{ \partial F }{ \partial Y } } , \, { \frac{ \partial F }{ \partial Z } } \right)} { }
in keinem Punkt der Kurve simultan gleich $0$ sind.
}
{} {}