Kurs:Algebraische Kurven/6/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 3 3 6 5 3 3 4 5 5 3 5 4 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Grad eines Polynoms .
  2. Die affin-lineare Äquivalenz von affin-algebraischen Mengen .
  3. Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge .
  4. Das -Spektrum zu einer kommutativen -Algebra .
  5. Ein diskreter Bewertungsring.
  6. Eine projektive ebene Kurve.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge .
  2. Der Satz über maximale Ideale in einer Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper .
  3. Der Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der Neilschen Parabel mit

  1. den Geraden durch dem Nullpunkt,
  2. den zu den Achsen parallelen Geraden.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring mit Elementen, wobei eine Primzahl sei. Zeige, dass ein Körper ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Betrachte die beiden Kreise

Zeige, dass die beiden Kreise über affin-linear äquivalent sind, aber nicht über .


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Noethersche Normalisierung für Kurven.


Aufgabe * (5 Punkte)

Führe für die rationale Quadrik

eine rationale Parametrisierung im Sinne von Satz 7.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) mit dem Hilfspunkt und einer geeigneten Geraden durch.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den Polynomring in einer Variablen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein kommutatives Monoid und ein Körper. Es sei und . Zeige, dass genau dann eine Einheit in ist, wenn eine Einheit in ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom

gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme für das numerische Monoid , das durch und erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes

mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass eine ebene projektive Kurve

genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen

in keinem Punkt der Kurve simultan gleich sind.