Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 3/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige: Der Durchschnitt von zwei verschiedenen Kreisen in der affinen Ebene ist der Durchschnitt eines Kreises mit einer Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Charakterisiere in $\Z$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} { R } { S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Es sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak a} )}{} ein Radikal in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } {} eine Abbildung, die durch $m$ Polynome in $n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass $\varphi$ stetig bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Man beschreibe eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{ K } } { {\mathbb A}^{1}_{ K } } {,} die bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere
\definitionsverweis {Zariski-offene}{}{}
Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {dicht}{}{}
ist.
}
{} {Tipp: Induktion über $n$.}