Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 3

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige: Der Durchschnitt von zwei verschiedenen Kreisen in der affinen Ebene ist der Durchschnitt eines Kreises mit einer Geraden.

Aufgabe (2 Punkte)

Charakterisiere in $ℤ$ die Radikale mithilfe der Primfaktorzerlegung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal $𝔞$ in einem kommutativen Ring $R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring $R / 𝔞$ reduziert ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $φ : R \to S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei $𝔞$ ein Radikal in $S$ . Zeige, dass das Urbild $φ^{- 1} (𝔞)$ ein Radikal in $R$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

φ : 𝔸_{K}^{n} ⟶ 𝔸_{K}^{m}

eine Abbildung, die durch $m$ Polynome in $n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass $φ$ stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Man beschreibe eine Abbildung

φ : 𝔸_{K}^{1} ⟶ 𝔸_{K}^{1},

die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge $U \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ dicht ist.

Tipp: Induktion über $n$ .