Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 3

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige: Der Durchschnitt von zwei verschiedenen Kreisen in der affinen Ebene ist der Durchschnitt eines Kreises mit einer Geraden.

Aufgabe (2 Punkte)

Charakterisiere in ${}\mathbb {Z}$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ reduziert ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi :R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})$ ein Radikal in ${}R$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$

eine Abbildung, die durch ${}m$ Polynome in ${}n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass ${}\varphi$ stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Man beschreibe eine Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},$

die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge ${}U\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ dicht ist.

Tipp: Induktion über ${}n$.