Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 3

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige: Der Durchschnitt von zwei verschiedenen Kreisen in der affinen Ebene ist der Durchschnitt eines Kreises mit einer Geraden.


Aufgabe (2 Punkte)

Charakterisiere in die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Radikal in . Zeige, dass das Urbild ein Radikal in ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei

eine Abbildung, die durch Polynome in Variablen gegeben sei. Zeige, dass stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Man beschreibe eine Abbildung

die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge dicht ist.

Tipp: Induktion über .