Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 30/latex

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\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mathl{C \subset {\mathbb P}^{2}_{K}}{} eine glatte Quadrik \zusatzklammer {also eine Kurve vom Grad zwei} {} {} über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Zeige, dass es eine Isomorphie der Kurve mit der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{K}$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subset }{{\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {glatte Kurve}{}{} vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabb {} {C} {{\mathbb P}^{1}_{K} } {} derart gibt, dass jede Faser aus maximal
\mathl{d-1}{} Punkten besteht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{C=V_+ { \left( X^3+Y^3+Z^3 \right) } \subset {\mathbb P}^{2}_{K}}{} die \stichwort {Fermat-Kubik} {} über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik $\neq 3$. Beschreibe explizit einen Morphismus
\mathl{C \rightarrow {\mathbb P}^{1}_{K}}{,} bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{C \subset {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}}{} der komplex-projektive Abschluss des Einheitskreises. Bestimme eine explizite bijektive Parametrisierung
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}} \rightarrow C}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige durch ein Beispiel, dass Lemma 30.2 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass der Körper \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass in den in Beispiel ***** berechneten Schnittpunkten
\mathl{\neq (0,0)}{} der beiden Kurven ein \definitionsverweis {transversaler Schnitt}{}{} vorliegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden \definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{}
\mathl{C=V_+ { \left( ZY^2-X^3 \right) }}{} und
\mathl{D=V_+ { \left( X^2+(Y-Z)^2-Z^2 \right) }}{.}

}
{Skizziere die Situation.} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden \definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{V_+ { \left( ZY-X^2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{V_+{ \left( X^2+(Y-Z)^2-Z^2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{Skizziere die Situation.} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden monomialen Kurven, die affin durch
\mathl{C=V(X^2-Y^3)}{} und
\mathl{D=V(X^5-Y^4)}{} gegeben sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $M, N$ $R$-Moduln. Ist \maabbdisp {f} {M} {N } {} ein $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{,} so ist \maabbeledisp {f^\ast} { \operatorname{Hom} \, (N,R) } { \operatorname{Hom} \, (M,R) } {\varphi } {\varphi \circ f } {,} auch ein $R$-Modulhomomorphismus.

Es sei nun $0 \to M \to N \to P \to 0$ eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{} von $R$-Moduln.

Zeige, dass dann die induzierte Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow \operatorname{Hom} \, (P,R) \longrightarrow \operatorname{Hom} \, (N,R) \longrightarrow \operatorname{Hom} \, (M,R)} { }
exakt ist. Man gebe auch ein Beispiel mit $R = \Z$, das zeigt, dass der letzte Pfeil im Allgemeinen nicht surjektiv ist.

}
{} {}